递归函数代码形式
函数类型 函数名(形式参数):
if（边界条件）
边界处理
else
递推算法
1、斐波那契数列：
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...
已知前两项为1，之后每一项等于前两项之和。
现输入n，请输出兔子数列的第n项。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int n){
if(n==1 || n==2)
return 1;
else //else可省略，为什么？
return f(n-1)+f(n-2);
}
int main(){
int n;
cin>>n;
cout<<f(n);
return 0;
}
2、用递归法求n!的值。
F ( n ) = { 1 （ n = 0 ） n ∗ F ( n − 1 ) （ n > 0 ） F(n)=\begin{cases}1（n=0）\\n*F(n-1)（n>0）\end{cases} F(n)={1（n=0）n∗F(n−1)（n>0）
不难分析出上题的递推式为
f
a
c
(
n
)
=
f
a
c
(
n
−
1
)
∗
n
fac(n)=fac(n-1)*n
fac(n)=fac(n−1)∗n，边界条件为
f
a
c
(
0
)
=
1
fac(0)=1
fac(0)=1。
求解过程如下：
f a c ( 4 ) = 4 ∗ f a c ( 3 ) = 4 ∗ ( 3 ∗ f a c ( 2 ) ) = 4 ∗ ( 3 ∗ ( 2 ∗ f a c ( 1 ) ) ) = 4 ∗ ( 3 ∗ ( 2 ∗ ( 1 ∗ f a c ( 0 ) ) ) ) = 4 ∗ ( 3 ∗ ( 2 ∗ ( 1 ∗ 1 ) ) ) fac(4)\\ =4*fac(3)\\ =4*(3*fac(2))\\ =4*(3*(2*fac(1)))\\ =4*(3*(2*(1*fac(0))))\\ =4*(3*(2*(1*1))) fac(4)=4∗fac(3)=4∗(3∗fac(2))=4∗(3∗(2∗fac(1)))=4∗(3∗(2∗(1∗fac(0))))=4∗(3∗(2∗(1∗1)))
题解：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long f(long long n){
if(n==1)
return 1;
else
return n*f(n-1);
}
int main(){
long long n;
cin>>n;
cout<<f(n);
return 0;
}
3、用递归法求f(n)=1+2+3+…+n的值。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int n){
if(n==1)
return 1;
else
return n+f(n-1);
}
int main(){
int n;
cin>>n;
cout<<f(n);
return 0;
}
4、输入两个数，求其最大公约数。
根据上文中所讲的辗转相除法可得公式如下：
g
c
d
(
a
,
b
)
=
{
(
a
%
b
=
0
)
g
c
d
(
b
,
a
%
b
)
（
a
%
b
≠
0
）
gcd(a,b)=\begin {cases}(a\%b=0)\\gcd(b,a\%b)（a\%b\neq 0）\end{cases}
gcd(a,b)={(a%b=0)gcd(b,a%b)（a%b=0）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int n,int m){
if(n%m==0)
return m;
else
return f(m,n%m);//该处return去除亦可正常运行，为什么？
}
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
cout<<f(n,m);
return 0;
}
5、跳台阶
花果山上有一洞，小猴每次采取跳1阶或者跳3阶的办法从山下跳跃上台阶进洞，编程输入台阶数，输出有多少种不同的跳法。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int n){
if(n==0 || n==1 || n==2)
return 1;
else
return f(n-1)+f(n-3);
}
int main(){
int n;
cin>>n;
cout<<f(n);
return 0;
}
6、输出全排列
给定N（N<10），按照字典序输出所有的N排列
输入样例：
3
输出样例：
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
可以采用1~n循环填每一个空的思路来做，也符合题意的按字典序填数，每填好一个数后继续递归填下一个数
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=15;
int n,a[N];
void f(int x){//函数f(x)定义：确定函数的第x个数
if(x==n+1){
for(int i=1;i<=n;i++)
cout<<a[i]<<' ';
cout<<endl;
return;
} else{
for(int i=1;i<=n;i++){ //枚举第x个数的值
bool ok=true;
for(int j=1;j<x;j++)//判断i是否在前x-1个数中出现过
if(a[j]==i){ok=false;break;}
if(ok){
a[x]=i;
f(x+1);
a[x]=0;//执行完f(x+1)后会退回该处，恢复现场，亦可不写，因为新的赋值会把原值覆盖掉
}
}
}
}
int main(){
cin>>n;
f(1);
return 0;
}
上述代码中“判断i是否在前x-1个数中出现过”使用了枚举法，导致代码效率不高，我们可以采用 used[] 数组来进行优化，i 被使用过则将 used[i] 记为true，否则为false
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=15;
int n,a[N];
bool used[N];
void f(int x){//函数f(x)定义：确定函数的第x个数
if(x==n+1){
for(int i=1;i<=n;i++)
cout<<a[i]<<' ';
cout<<endl;
return;
} else{
for(int i=1;i<=n;i++){ //枚举第x个数的值
if(!used[i]){
a[x]=i;
used[i]=true;
f(x+1);
used[i]=false;//执行完f(x+1)后会退回该处，恢复现场，必须得写，
a[x]=0;//可写可不写，递归经常会出现类似的对称型代码
}
}
}
}
int main(){
cin>>n;
f(1);
return 0;
}
全排列是一种常见的组合算法，也经常通过不断交换数组中的元素的方式来生成全排列。在每一次递归中，我们将第一个元素与后面的元素进行交换，然后递归生成后面的排列，最后再恢复交换的元素。通过这种方式，我们可以生成所有可能的排列（非字典序）。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[15];
// 交换两个元素的值
void swap(int *a, int *b) {
int temp = *a;
*a = *b;
*b = temp;
}
// 递归生成全排列
void f(int *a, int start, int end) {
if (start == end) {
// 打印当前排列
for (int i=1;i<=end;i++) {
cout<<a[i]<<' ';
}
cout<<endl;
} else {
for (int i=start;i<=end;i++) {
// 交换第一个元素与后面的元素
swap(&a[start], &a[i]);
// 递归生成后面的排列
f(a,start+1,end);
// 恢复交换的元素
swap(&a[start], &a[i]);
}
}
}
int main() {
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i]=i;
}
f(a,1,n);
return 0;
}
7、汉诺塔
Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a,b,c组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在a柱上，如图所示。
要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上：
(1)一次只能移一个圆盘；
(2)圆盘只能在三个柱上存放；
(3)在移动过程中，不允许大盘压小盘。
问将这n个盘子从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少个盘次？
【问题解答】
解：设Hn为n个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。
显然，当n=1时，只需把a 柱上的盘子直接移动到c柱就可以了，故：H1=1。
当n=2时，先将a柱上面的小盘子移动到b柱上去，然后将大盘子从a柱移到c柱,最后，将b柱上的小盘子移到c柱上，共记3个盘次，故：H2=3。
以此类推，当a柱上有n(n>=2)个盘子时，总是先借助c柱把上面的n-1个盘子移动到b柱上，然后把a柱最下面的盘子移动到c柱上，再借助a柱把b柱上的n-1个盘子移动到c柱上，总共移动H(n-1)+1+H(n-1)个盘次。
∴Hn=2H(n-1)+1，边界条件：H1=1
【递归实现】
#include<stdio.h>
void move(int n, char x, char y, char z)//将n个圆盘从x柱子上借助y柱子移动到z柱子上
{
if(n == 1)
printf("圆盘编号 %d :从 %c 移动到 %c\n",n,x,z);
else
{
move(n-1,x,z,y);
printf("圆盘编号 %d:从 %c 移动到 %c\n",n,x,z);
move(n-1,y,x,z);
}
}
int main()
{
int n;//n代表圆盘的个数
/*A,B,C分别代表三个柱子*/
char ch1 = 'A';
char ch2 = 'B';
char ch3 = 'C';
printf("请输入圆盘的个数：");
scanf("%d",&n);
move(n,ch1,ch2,ch3);
return 0;
}
【递推实现】
#include<stdio.h>
int ct=1;//记录步数,在步骤中输出
void move(int n,char from,char to)
{
printf("第 %2d 步：把第 %d 个盘子： %c >>>>>>> %c\n",ct++,n,from,to);
}
int hanoi(int n)//输出步数：
{
int cnt = 2,ans = 1;
if(n == 1)
return 1;
else
return 2* hanoi(n-1) +1;
}
void hanoi_tower(int n,char x,char y, char z) //输出步骤
{
if(n==1)
move(1,x,z);
else{
hanoi_tower(n-1,x,z,y);
move(n,x,z);
hanoi_tower(n-1,y,x,z);
}
}
int main()
{
int n;//盘子个数
printf("输入盘子个数:\n");
scanf("%d",&n);
char x = 'A',y = 'B',z = 'C';
int t = hanoi(n);
printf("一共需要%2d步。\n",t);
hanoi_tower(n,x,y,z);
return 0;
}
8、n皇后问题
在N*N（N<=10）的棋盘上放置N个皇后，使得他们不能相互攻击。两个皇后能相互攻击当且仅当他们在同一行，或者同一列，或者同一对角线上。
【题解】来源：WBN
DFS基本格式：
#include<iostream>
using namespace std;
void dfs(int x){//层数
if(达到目的) 输出（或者方案数+1）
else{
for(遍历所有的算符){
if(没有用到){
标记
dfs(k+1)//下一层递归
回溯
}
}
}
}
在这道题目中，“层数”可以等于“行”，即第x层递归可以等价于第x行，那么只需要检验对角线以及列数。又因为行数已经可以忽略不考虑（一定符合条件），我们可以用一维数组（p[11]）存放皇后.
1.检验列，只需判断p[j]是否与已经放入的“皇后”位置不同，即p[j]!=i；
2.检验对角线，只需要判断“皇后”的行列之差（的绝对值）是否相等
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans,p[11];//一维数组p用来记录列
void Nqueen(int x){
if(x==n+1){//边界条件 即此时已经找完 计算方案数
ans++;
return;//返回函数
}
else{
for(int i=1;i<=n;i++){
bool ok=true;
for(int j=1;j<x;j++){//检查第x列之前
if((p[j]==i)||(abs(x-j)==abs(i-p[j]))){//第一部分判断皇后是否在同一列 第二部分判断是否在同一对角线
ok =false;
break;
}
}
if(ok){
p[x]=i;//放入
Nqueen(x+1);//下一列
p[x]=0;
}
}
}
}
int main(){
cin>>n;
Nqueen(1);//从第一行找起
cout<<ans;
return 0;
}
9、确定进制
6*9=42对于十进制来说是错误的，但是对于13进制来说是正确的，即6(13)*9(13)=42(13)
现读入三个整数p q r，然后确定一个进制，使得 p *q =r
输入样例：
6 9 42
输出样例：
13
10、最大连续子序列和
给定一个长度为n的序列，求该序列的最大连续子序列和。（n<=100000，|元素值|<=1000）
输入样例：
10
2 5 -3 4 -9 -2 6 1 -8 7
输出样例：
8
【题解】来源：PJD
1.暴力搜索，没什么好说的，纯写了玩
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n,max,op,l=0;
cin>>n;
int a[n+1];
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
max=a[1];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=n;j>=i;j--)
{
for(int o=i;o<=j;o++)
{
op+=a[o];
}
if(op>max)
{
max=op;
}
}
}
cout<<max;
return 0;
}
2.DP
我们以洛谷里的测试样例为例
2 -4 3 -1 2 -4 3
第一个数：2
前两个数最大子段和：显然2-4<2 所以为2
前三：各个子段和分别为1，-1,3（注意，这里的子段是指包含第3个数的子段）
最大为3
在前三个的情况时，我们可以发现，因为前两个数的和为负数，加上第三个数反而没有第三个数大
所以可以很清楚发现状态转移方程为发f(n)=max(f(n-1)+h(n),h(n)) (f(n)指的是第1到n中所有包含第n个数的子段中的最大值，h（n）指的是第n个数的值。
综上，我们可以用简单的DP找出第1到n中所有包含第n个数的子段中的最大值
但很明显，不包括第n个数的子段中可能有字段和更大的情况，例如：
1 2 3 4 -1000 1
如果直接求出f(6),结果为1，但很明显，答案应该是1+2+3+4=10
所以我们可以存储f(1)到f(n),找其中的最值即可
以下是两种编码方式
：第一种，制表递推
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int o[200005],p[200005];//o存数列，p为表
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>o[i];
int op=o[1];//op来存最大值,自底向上制表递推
for(int i=1;i<=n;i++)
{
p[i]=max(p[i-1]+o[i],o[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
op=max(op,p[i]);
}
cout<<op;
return 0;
}
可以发现制表，找最值的过程可以合在一个循环里
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int o[200005],p[200005];//o存数列，p为表
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>o[i];
int op=o[1];//op来存最大值,自底向上制表递推
for(int i=1;i<=n;i++)
{
p[i]=max(p[i-1]+o[i],o[i]);
op=max(op,p[i]);
}
cout<<op;
return 0;
}
DP第二种，自顶向下递归。其实就是把递推式里东西换了个位置。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int o[200005],p[200005],op;//o存数列，p记忆化
int ys(int bh)
{
if(bh==1)
return o[1];
else
return max(ys(bh-1)+o[bh],o[bh]);
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>o[i];
op=o[1];//op来存最大值
for(int i=1;i<=n;i++)
{
p[i]=ys(i);
op=max(op,p[i]);
}
cout<<op;
return 0;
}
11、最大子矩阵
已知矩阵的大小等于矩阵中所有元素的和，给定一个nn（n<=300）的矩阵，找到该矩阵的最大非空子矩阵（大小至少为11）。
输入样例：
4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
输出样例：
15
【题解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a[305][305], answer, sum[305][305];
pair<int, int> vis[305][305];
void dfs(const int x, const int y, int s, int px, int py){
if(px > n || py > n || vis[px][py] == make_pair(x, y)) return;
vis[px][py] = make_pair(x, y);
sum[px][py] = s;
int w = 0;
for(int t = x; t <= px; t++){
s += a[t][py + 1];
w += a[t][py + 1];
}
dfs(x, y, s, px, py + 1);
s -= w;
w = 0;
for(int t = y; t <= py; t++){
s += a[px + 1][t];
w += a[px + 1][t];
}
dfs(x, y, s, px + 1, py);
s -= w;
answer = max(s, answer);
}
void dfs2(const int x, const int y, int s, int px, int py){
if(px > n || py > n || vis[px][py] == make_pair(x, y)) return;
vis[px][py] = make_pair(x, y);
dfs2(x, y, sum[px][py + 1] + sum[x - 1][y - 1] - sum[x - 1][py + 1] - sum[px][y - 1], px, py + 1);
dfs2(x, y, sum[px + 1][py] + sum[x - 1][y - 1] - sum[x - 1][py] - sum[px + 1][y - 1], px + 1, py);
answer = max(s, answer);
}
int main(){
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= n; j++){
cin >> a[i][j];
}
}
dfs(1, 1, a[1][1], 1, 1);
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= n; j++){
if(i == 1 && j == 1) continue;
dfs2(i, j, a[i][j], i, j);
}
}
cout << answer << "\n";
return 0;
}
/*
4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
*/
12、素数环
从1~20一共20个数摆成一个环，要求相邻两个数的和是一个素数。输出一个合法答案。
无输入
输出样例：
一行，20个数，表示一个合法解。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-831230.html
【题解】来源：PWT文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-831230.html
#include<bits/stdc++.h>//素数环
using namespace std;
int a[25];
bool f[25];
void print(){//输出函数
for(int i=1;i<=20;i++){
cout<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
bool zs(int x){//判断质数
if(x==1)return 0;
for(int i=2;i<=sqrt(x);i++){
if(x%i==0)return 0;
}
return 1;
}
void dfs(int k){//k是第 k个数字
for(int i=1;i<=20;i++){
if(f[i]==0&&(k==1||zs(i+a[k-1]))){//判断数是否已被占用，如果是第一个数不需要判断和为素数
a[k]=i;f[i]=1;//标记数被占用
if(k==20&&zs(a[k]+a[1]))print();//20个数已满且首尾相加为素数输出
else dfs(k+1);
f[i]=0;
}
}
}
int main(){
dfs(1);
return 0;
}
到了这里，关于DFS—深度优先搜索的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
