动态规划树形DP课后习题蓝桥舞会-Toy模板网

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蓝桥舞会
题目描述
蓝桥公司一共有n名员工，编号分别为1～n。
他们之间的关系就像一棵以董事长为根的树，父节点就是子节点的直接上司。每个员工有一个快乐指数aj。
现蓝桥董事会决定举办一场蓝桥舞会来让员工们在工作之余享受美好时光，不过对于每个员工，他们都不愿意与自己的直接上司一起参会。
董事会希望舞会的所有参会员工的快乐指数总和最大，请你求出这个最大值。
输入描述
输入的第一行是一个整数n,表示蓝桥公司的员工数。
第二行包含n个整数，分别表示第i个员工的快乐指数ai。
接下来n-1行每行包含两个整数u,v,表示v是u的直接上司。1≤u,v,ai≤n≤10⁵
输出描述
输出一个整数，表示答案。
输入输出样例
示例1
输入
3
123
21
31
输出
5
运行限制
语言
最大运行时间
C++
1s
C
1s
Python3
1s
laya
1s
最大运行内存
128M
128M
128M
128M

我的答案：

一、信息（题目的有用信息）

此题目是一个经典的动态规划问题，在树结构上进行。关键信息如下：

员工关系：蓝桥公司的员工关系呈树状结构，每个员工只有一个直接上司（除了董事长）。
快乐指数：每个员工有一个快乐指数。
参会条件：员工与其直接上司不能同时参加舞会。
目标：求参会员工的快乐指数总和的最大值。

二、分析

每个信息的作用

树状结构：决定了我们可以从底向上，或者自顶向下进行动态规划。
快乐指数：是我们需要优化的目标。
参会条件：为动态规划增加了状态。

思考过程和分析过程

动态规划的核心在于状态的定义和状态转移方程的建立。在这个问题中，我们可以为每个节点定义两个状态：

f[u][0]：员工u不参加时，以u为根的子树上所有可能参加的员工的快乐指数总和的最大值。
f[u][1]：员工u参加时，以u为根的子树上所有可能参加的员工的快乐指数总和的最大值。

状态转移时，我们需要考虑子节点是否参加。如果父节点参加，子节点就不能参加；如果父节点不参加，子节点可以选择参加或不参加。

三、算法设计

使用树形动态规划：根据上面的分析，我们使用树形动态规划解决这个问题。
状态转移方程：
- f[u][0] = Σmax(f[v][0], f[v][1]) （u的子节点v可以选择参加或不参加）
- f[u][1] = Σf[v][0] + happiness[u] （u参加，子节点v都不能参加）
边界条件：对于叶子节点，f[leaf][0] = 0，f[leaf][1] = happiness[leaf]。

四、代码实现（用C++）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 100005;
vector<int> g[MAXN];
int happiness[MAXN];
int f[MAXN][2];

void dfs(int u, int p) {
    f[u][1] = happiness[u];
    f[u][0] = 0;
    for (int v : g[u]) {
        if (v == p) continue;
        dfs(v, u);
        f[u][1] += f[v][0];
        f[u][0] += max(f[v][0], f[v][1]);
    }
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> happiness[i];
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    dfs(1, 0);
    cout << max(f[1][0], f[1][1]) << endl;
    return 0;
}

五、实现代码过程中可能遇到的问题

内存限制：由于员工数可能达到10^5，所以需要注意数据结构的内存使用。
初始化问题：确保所有的动态规划数组在使用前都已正确初始化。
边界条件处理：确保对叶节点和根节点的特殊情况进行了正确处理。
递归深度：在极端情况下，树可能退化成链，导致递归深度过大。可以考虑增加栈空间或使用非递归方法。

六、总结

树形动态规划的应用：这个问题是一个经典的树形动态规划问题。动态规划通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题，而树形动态规划特别适用于树状数据结构上的问题。通过这个问题，我们可以学习如何在树结构上定义状态和状态转移方程。
状态定义和转移：在这个问题中，我们定义了两种状态，分别代表一个员工参加或不参加舞会时的最大快乐指数。学会如何根据问题的需求来定义状态，是解决动态规划问题的关键。
递归和树的遍历：这个问题的解决依赖于对树的深度优先遍历（DFS）。通过这个问题，我们可以加深对递归思想及树的DFS遍历方式的理解。
边界条件处理：在动态规划中，合理地处理边界条件对于得到正确答案至关重要。这个问题强调了在初始化和处理叶子节点时的边界条件。
复杂问题的简化：这个问题展示了如何将一个看似复杂的问题分解为更小、更易于管理的子问题，这是解决复杂问题的常用策略。
算法的时间和空间效率：考虑到问题的规模（员工数可达10^5），我们需要关注算法的时间复杂度和空间复杂度，以保证解决方案的可行性。
实际应用的思考：虽然这是一个理论问题，但它模拟了实际中可能遇到的场景（如资源分配、计划制定等），其中的思考过程和解决策略可以应用到实际问题解决中。