团灭 LeetCode 股票买卖问题

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了团灭 LeetCode 股票买卖问题。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

这几道题目是有共性的,我们只需要抽出来力扣第 188 题「188. 买卖股票的最佳时机 IV - 力扣(LeetCode)」进行研究,因为这道题是最泛化的形式,其他的问题都是这个形式的简化,看下题目:

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第一题是只进行一次交易,相当于 k = 1;第二题是不限交易次数,相当于 k = +infinity(正无穷);第三题是只进行 2 次交易,相当于 k = 2;剩下两道也是不限次数,但是加了交易「冷冻期」和「手续费」的额外条件,其实就是第二题的变种,都很容易处理。

下面言归正传,开始解题。

穷举框架

首先,还是一样的思路:如何穷举?

动态规划算法本质上就是穷举「状态」,然后在「选择」中选择最优解。

那么对于这道题,我们具体到每一天,看看总共有几种可能的「状态」,再找出每个「状态」对应的「选择」。我们要穷举所有「状态」,穷举的目的是根据对应的「选择」更新状态。听起来抽象,你只要记住「状态」和「选择」两个词就行,下面实操一下就很容易明白了。

for 状态1 in 状态1的所有取值:
    for 状态2 in 状态2的所有取值:
        for ...
            dp[状态1][状态2][...] = 择优(选择1,选择2...)

比如说这个问题,每天都有三种「选择」:买入、卖出、无操作,我们用 buy, sell, rest 表示这三种选择。

但问题是,并不是每天都可以任意选择这三种选择的,因为 sell 必须在 buy 之后,buy 必须在 sell 之后。那么 rest 操作还应该分两种状态,一种是 buy 之后的 rest(持有了股票),一种是 sell 之后的 rest(没有持有股票)。而且别忘了,我们还有交易次数 k 的限制,就是说你 buy 还只能在 k > 0 的前提下操作。

注:

注意我在本文会频繁使用「交易」这个词,我们把一次买入和一次卖出定义为一次「交易」

这个问题的「状态」有三个,第一个是天数,第二个是允许交易的最大次数,第三个是当前的持有状态(即之前说的 rest 的状态,我们不妨用 1 表示持有,0 表示没有持有)。然后我们用一个三维数组就可以装下这几种状态的全部组合:

dp[i][k][0 or 1]
0 <= i <= n - 1, 1 <= k <= K
n 为天数,大 K 为交易数的上限,0 和 1 代表是否持有股票。
此问题共 n × K × 2 种状态,全部穷举就能搞定。

for 0 <= i < n:
    for 1 <= k <= K:
        for s in {0, 1}:
            dp[i][k][s] = max(buy, sell, rest)

而且我们可以用自然语言描述出每一个状态的含义,比如说 dp[3][2][1] 的含义就是:今天是第三天,我现在手上持有着股票,至今最多进行 2 次交易。再比如 dp[2][3][0] 的含义:今天是第二天,我现在手上没有持有股票,至今最多进行 3 次交易。很容易理解,对吧?

我们想求的最终答案是 dp[n - 1][K][0],即最后一天,最多允许 K 次交易,最多获得多少利润。

你可能问为什么不是 dp[n - 1][K][1]?因为 dp[n - 1][K][1] 代表到最后一天手上还持有股票,dp[n - 1][K][0] 表示最后一天手上的股票已经卖出去了,很显然后者得到的利润一定大于前者。

记住如何解释「状态」,一旦你觉得哪里不好理解,把它翻译成自然语言就容易理解了。

状态转移框架

现在,我们完成了「状态」的穷举,我们开始思考每种「状态」有哪些「选择」,应该如何更新「状态」。

只看「持有状态」,可以画个状态转移图:

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通过这个图可以很清楚地看到,每种状态(0 和 1)是如何转移而来的。根据这个图,我们来写一下状态转移方程:

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
              max( 今天选择 rest,        今天选择 sell       )

解释:今天我没有持有股票,有两种可能,我从这两种可能中求最大利润:

1、我昨天就没有持有,且截至昨天最大交易次数限制为 k;然后我今天选择 rest,所以我今天还是没有持有,最大交易次数限制依然为 k

2、我昨天持有股票,且截至昨天最大交易次数限制为 k;但是今天我 sell 了,所以我今天没有持有股票了,最大交易次数限制依然为 k

dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
              max( 今天选择 rest,         今天选择 buy         )

解释:今天我持有着股票,最大交易次数限制为 k,那么对于昨天来说,有两种可能,我从这两种可能中求最大利润:

1、我昨天就持有着股票,且截至昨天最大交易次数限制为 k;然后今天选择 rest,所以我今天还持有着股票,最大交易次数限制依然为 k

2、我昨天本没有持有,且截至昨天最大交易次数限制为 k - 1;但今天我选择 buy,所以今天我就持有股票了,最大交易次数限制为 k

这里着重提醒一下,时刻牢记「状态」的定义,状态 k 的定义并不是「已进行的交易次数」,而是「最大交易次数的上限限制」。如果确定今天进行一次交易,且要保证截至今天最大交易次数上限为 k,那么昨天的最大交易次数上限必须是 k - 1。举个具体的例子,比方说要求你的银行卡里今天至少有 100 块钱,且你确定你今天可以赚 10 块钱,那么你就要保证昨天的银行卡要至少剩下 90 块钱。

这个解释应该很清楚了,如果 buy,就要从利润中减去 prices[i],如果 sell,就要给利润增加 prices[i]。今天的最大利润就是这两种可能选择中较大的那个。

注意 k 的限制,在选择 buy 的时候相当于开启了一次交易,那么对于昨天来说,交易次数的上限 k 应该减小 1。

现在,我们已经完成了动态规划中最困难的一步:状态转移方程。如果之前的内容你都可以理解,那么你已经可以秒杀所有问题了,只要套这个框架就行了。不过还差最后一点点,就是定义 base case,即最简单的情况。

dp[-1][...][0] = 0
解释:因为 i 是从 0 开始的,所以 i = -1 意味着还没有开始,这时候的利润当然是 0。

dp[-1][...][1] = -infinity
解释:还没开始的时候,是不可能持有股票的。
因为我们的算法要求一个最大值,所以初始值设为一个最小值,方便取最大值。

dp[...][0][0] = 0
解释:因为 k 是从 1 开始的,所以 k = 0 意味着根本不允许交易,这时候利润当然是 0。

dp[...][0][1] = -infinity
解释:不允许交易的情况下,是不可能持有股票的。
因为我们的算法要求一个最大值,所以初始值设为一个最小值,方便取最大值。

把上面的状态转移方程总结一下:

base case:
dp[-1][...][0] = dp[...][0][0] = 0
dp[-1][...][1] = dp[...][0][1] = -infinity

状态转移方程:
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])

秒杀题目

121. 买卖股票的最佳时机

第一题,先说力扣第 121 题「121. 买卖股票的最佳时机 - 力扣(LeetCode)」,相当于 k = 1 的情况

团灭 LeetCode 股票买卖问题,算法,leetcode,算法,java
直接套状态转移方程,根据 base case,可以做一些化简:

dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i])
dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][0][0] - prices[i]) 
            = max(dp[i-1][1][1], -prices[i])
解释:k = 0 的 base case,所以 dp[i-1][0][0] = 0。

现在发现 k 都是 1,不会改变,即 k 对状态转移已经没有影响了。
可以进行进一步化简去掉所有 k:
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i])
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {
    dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
    dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], -prices[i]);
}
return dp[n - 1][0];

显然 i = 0i - 1 是不合法的索引,这是因为我们没有对 i 的 base case 进行处理,可以这样给一个特化处理:

if (i - 1 == -1) {
    dp[i][0] = 0;
    // 根据状态转移方程可得:
    //   dp[i][0] 
    // = max(dp[-1][0], dp[-1][1] + prices[i])
    // = max(0, -infinity + prices[i]) = 0

    dp[i][1] = -prices[i];
    // 根据状态转移方程可得:
    //   dp[i][1] 
    // = max(dp[-1][1], dp[-1][0] - prices[i])
    // = max(-infinity, 0 - prices[i]) 
    // = -prices[i]
    continue;
}

第一题就解决了,但是这样处理 base case 很麻烦,而且注意一下状态转移方程,新状态只和相邻的一个状态有关,不需要用整个 dp 数组,只需要一个变量储存相邻的那个状态就足够了,这样可以把空间复杂度降到 O(1):

// 原始版本
int maxProfit_k_1(int[] prices) {
    int n = prices.length;
    int[][] dp = new int[n][2];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (i - 1 == -1) {
            // base case
            dp[i][0] = 0;
            dp[i][1] = -prices[i];
            continue;
        }
        dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
        dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], -prices[i]);
    }
    return dp[n - 1][0];
}

// 空间复杂度优化版本
int maxProfit_k_1(int[] prices) {
    int n = prices.length;
    // base case: dp[-1][0] = 0, dp[-1][1] = -infinity
    int dp_i_0 = 0, dp_i_1 = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
        dp_i_0 = Math.max(dp_i_0, dp_i_1 + prices[i]);
        // dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i])
        dp_i_1 = Math.max(dp_i_1, -prices[i]);
    }
    return dp_i_0;
}

122. 买卖股票的最佳时机 II

第二题,看一下力扣第 122 题「122. 买卖股票的最佳时机 II - 力扣(LeetCode)」,也就是 k 为正无穷的情况

团灭 LeetCode 股票买卖问题,算法,leetcode,算法,java
题目还专门强调可以在同一天出售,但我觉得这个条件纯属多余,如果当天买当天卖,那利润当然就是 0,这不是和没有进行交易是一样的吗?这道题的特点在于没有给出交易总数 k 的限制,也就相当于 k 为正无穷。

如果 k 为正无穷,那么就可以认为 kk - 1 是一样的。可以这样改写框架:

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
            = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k][0] - prices[i])

我们发现数组中的 k 已经不会改变了,也就是说不需要记录 k 这个状态了:
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
// 原始版本
int maxProfit_k_inf(int[] prices) {
    int n = prices.length;
    int[][] dp = new int[n][2];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (i - 1 == -1) {
            // base case
            dp[i][0] = 0;
            dp[i][1] = -prices[i];
            continue;
        }
        dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
        dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);
    }
    return dp[n - 1][0];
}

// 空间复杂度优化版本
int maxProfit_k_inf(int[] prices) {
    int n = prices.length;
    int dp_i_0 = 0, dp_i_1 = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int temp = dp_i_0;
        dp_i_0 = Math.max(dp_i_0, dp_i_1 + prices[i]);
        dp_i_1 = Math.max(dp_i_1, temp - prices[i]);
    }
    return dp_i_0;
}

123. 买卖股票的最佳时机 III

第三题,看力扣第 123 题「123. 买卖股票的最佳时机 III - 力扣(LeetCode)」,也就是 k = 2 的情况
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k = 2 和前面题目的情况稍微不同,因为上面的情况都和 k 的关系不太大:要么 k 是正无穷,状态转移和 k 没关系了;要么 k = 1,跟 k = 0 这个 base case 挨得近,最后也没有存在感。

这道题 k = 2 和后面要讲的 k 是任意正整数的情况中,对 k 的处理就凸显出来了,我们直接写代码,边写边分析原因。

原始的状态转移方程,没有可化简的地方
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])

按照之前的代码,我们可能想当然这样写代码(错误的):

int k = 2;
int[][][] dp = new int[n][k + 1][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {
    if (i - 1 == -1) {
        // 处理 base case
        dp[i][k][0] = 0;
        dp[i][k][1] = -prices[i];
        continue;
    }
    dp[i][k][0] = Math.max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]);
    dp[i][k][1] = Math.max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]);
}
return dp[n - 1][k][0];

为什么错误?我这不是照着状态转移方程写的吗?

还记得前面总结的「穷举框架」吗?就是说我们必须穷举所有状态。其实我们之前的解法,都在穷举所有状态,只是之前的题目中 k 都被化简掉了。

比如说第一题,k = 1 时的代码框架:

int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {
    dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
    dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], -prices[i]);
}
return dp[n - 1][0];

但当 k = 2 时,由于没有消掉 k 的影响,所以必须要对 k 进行穷举:

// 原始版本
int maxProfit_k_2(int[] prices) {
    int max_k = 2, n = prices.length;
    int[][][] dp = new int[n][max_k + 1][2];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int k = max_k; k >= 1; k--) {
            if (i - 1 == -1) {
                // 处理 base case
                dp[i][k][0] = 0;
                dp[i][k][1] = -prices[i];
                continue;
            }
            dp[i][k][0] = Math.max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]);
            dp[i][k][1] = Math.max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]);
        }
    }
    // 穷举了 n × max_k × 2 个状态,正确。
    return dp[n - 1][max_k][0];
}

这里肯定会有读者疑惑,k 的 base case 是 0,按理说应该从 k = 1, k++ 这样穷举状态 k 才对?而且如果你真的这样从小到大遍历 k,提交发现也是可以的

为什么我从大到小遍历 k 也可以正确提交呢?因为你注意看,dp[i][k][..] 不会依赖 dp[i][k - 1][..],而是依赖 dp[i - 1][k - 1][..],而 dp[i - 1][..][..],都是已经计算出来的,所以不管你是 k = max_k, k--,还是 k = 1, k++,都是可以得出正确答案的。

那为什么我使用 k = max_k, k-- 的方式呢?因为这样符合语义:

你买股票,初始的「状态」是什么?应该是从第 0 天开始,而且还没有进行过买卖,所以最大交易次数限制 k 应该是 max_k;而随着「状态」的推移,你会进行交易,那么交易次数上限 k 应该不断减少,这样一想,k = max_k, k-- 的方式是比较合乎实际场景的。

当然,这里 k 取值范围比较小,所以也可以不用 for 循环,直接把 k = 1 和 2 的情况全部列举出来也可以:文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-834230.html

// 状态转移方程:
// dp[i][2][0] = max(dp[i-1][2][0], dp[i-1][2][1] + prices[i])
// dp[i][2][1] = max(dp[i-1][2][1], dp[i-1][1][0] - prices[i])
// dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i])
// dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], -prices[i])

// 空间复杂度优化版本
int maxProfit_k_2(int[] prices) {
    // base case
    int dp_i10 = 0, dp_i11 = Integer.MIN_VALUE;
    int dp_i20 = 0, dp_i21 = Integer.MIN_VALUE;
    for (int price : prices) {
        dp_i20 = Math.max(dp_i20, dp_i21 + price);
        dp_i21 = Math.max(dp_i21, dp_i10 - price);
        dp_i10 = Math.max(dp_i10, dp_i11 + price);
        dp_i11 = Math.max(dp_i11, -price);
    }
    return dp_i20;
}

到了这里,关于团灭 LeetCode 股票买卖问题的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

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