高等代数(四)-矩阵07：分块乘法的初等变换及应用举例-Toy模板网

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$§7$ 分块乘法的初等变换及应用举例
将分块乘法与初等变换结合是矩阵运算中极重要的手段.
现将某个单位矩阵进行如下分块:
$\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{E}_{m} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{E}_{n} \end{array}\right) .$
对它进行两行 (列) 对换, 某一行 (列) 左乘 (右乘)一个矩阵
$\boldsymbol{P}$ , 一行 (列) 加上另一
行 (列) 的 $\boldsymbol{P}$ (矩阵) 倍数, 就可得到如下类型的一些矩阵:
$\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{E}_{n} \\ \boldsymbol{E}_{m} & O \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{P} & \boldsymbol{O} \\ O & E_{n} \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{E}_{m} & \boldsymbol{O} \\ O & P \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{E}_{m} & \boldsymbol{P} \\ O & E_{n} \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{E}_{m} & O \\ P & E_{n} \end{array}\right) .$
和初等矩阵与初等变换的关系一样, 用这些矩阵左乘任一个分块矩阵
$\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & \mathrm{D} \end{array}\right),$
只要分块乘法能够进行, 其结果就是对它进行相应的变换, 即
$\begin{array}{c} \left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{E}_{m} \\ E_{n} & O \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & D \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{D} \\ \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \end{array}\right), \\ \left(\begin{array}{ll} P & O \\ O & E_{n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} P A & P B \\ C & D \end{array}\right), \\ \left(\begin{array}{cc} E_{m} & O \\ P & E_{n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C+P A & D+P B \end{array}\right) . \end{array}$

同样, 用它们右乘任一矩阵, 进行分块乘法时也有相应的结果, 我们不写出了.
在 (3) 中, 适当选择 $P$ , 可使 $C + P A = O$ . 例如 $A$ 可逆时, 选
$P=-C A^{-1}$ , 则 $C + P A = O$ .于是 (3) 的右端成为
$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ O & D-C A^{-1} B \end{array}\right) .$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-834687.html