§ 2 矩阵的运算
现在我们来定义矩阵的运算, 可以认为它们是矩阵之间一些最基本的关系.
下面要定义的运算是矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置.
为了确定起见, 我们取定一个数域 P P P, 以下所讨论的矩阵全是由数域 P P P
中的数组成的.
1. 加法
定义 1 设
A = ( a i j ) s × n = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a s 1 a s 2 ⋯ a s n ) , B = ( b i j ) i × n = ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ b s 1 b s 2 ⋯ b s n ) \begin{array}{l} \boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{s \times n}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s n} \end{array}\right), \\ \boldsymbol{B}=\left(b_{i j}\right)_{i \times n}=\left(\begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{s 1} & b_{s 2} & \cdots & b_{s n} \end{array}\right) \end{array} A=(aij)s×n=
a11a21⋮as1a12a22⋮as2⋯⋯⋯a1na2n⋮asn
,B=(bij)i×n=
b11b21⋮bs1b12b22⋮bs2⋯⋯⋯b1nb2n⋮bsn
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-836256.html
是两个 s × n s \times n s×n 矩阵, 则矩阵
C = ( c i j ) 1 × n = ( a i j + b i j ) , × n = ( a 11 + b 11 a 12 + b 12 ⋯ a 1 n + b 1 n a 21 + b 21 a 22 + b 22 ⋯ a 2 n + b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 + b 41 a n 2 + b s 2 ⋯ a s n + b s n ) \boldsymbol{C}=\left(c_{i j}\right)_{1 \times n}=\left(a_{i j}+b_{i j}\right)_{, \times n}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1 n}+b_{1 n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2 n}+b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1}+b_{41} & a_{n 2}+b_{s 2} & \cdots & a_{s n}+b_{s n} \end{array}\right) C=(cij)1×n=(aij+bij),×n=
a11+b11a21+b21⋮an1+b41a12+b12a22+b22⋮an2+bs2⋯⋯⋯a1n+b1na2n+b2n⋮asn+bsn
称为 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 的和, 记为
C = A + B . \boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} . C=A+B.
矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加. 当然,
相加的矩阵必须要有相同的行数和列数, 这样的矩阵称为同型矩阵.
由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法, 也就是数的加法, 所以,不难验证,它有
结合律:
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C \boldsymbol{A}+(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})+\boldsymbol{C} A+(B+C)=(A+B)+C;
交换律: A + B = B + A \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A} A+B=B+A.
元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记为 O s x n \boldsymbol{O}_{\mathrm{sxn}} Osxn,
在不致引起含混的时候, 可简单地记为 O O O. 显然, 对所有的 A A A,
A + O = A . \boldsymbol{A}+\boldsymbol{O}=\boldsymbol{A} . A+O=A.
矩阵
( − a 11 − a 12 ⋯ − a 1 n − a 21 − a 22 ⋯ − a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ − a n 1 − a n 2 ⋯ − a n n ) \left(\begin{array}{cccc} -a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1 n} \\ -a_{21} & -a_{22} & \cdots & -a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n 1} & -a_{n 2} & \cdots & -a_{n n} \end{array}\right)
−a11−a21⋮−an1−a12−a22⋮−an2⋯⋯⋯−a1n−a2n⋮−ann
称为矩阵 A \boldsymbol{A} A 的负矩阵, 记为
A A \boldsymbol{A} \boldsymbol{A} AA. 显然有
A + ( − A ) = O . \boldsymbol{A}+(-\boldsymbol{A})=\boldsymbol{O} . A+(−A)=O.
矩阵的减法定义为
A − B = A + ( − B ) . \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}+(-\boldsymbol{B}) . A−B=A+(−B).
例如, 在 § 1 § 1 §1 我们看到, 某一种物资如果有 s s s 个产地, n n n 个销地,
那么一个调运方案就可表示为一个 s × n s \times n s×n 矩阵,矩阵中的元素 a i j a_{i j} aij
表示由产地 A i A_{i} Ai 运到销地 B j B_{j} Bj 的这种物资的数量, 比如说吨数.
如果从这些产地还有另一种物资要运到这些销地, 那么,
这种物资的调运方案也可表示为一个 s × n s \times n s×n
矩阵.于是从产地到销地的总的运输量也表示为一个矩阵. 显然,
这个矩阵就等于上面两个矩阵的和.
根据矩阵加法的定义,应用关于向量组的秩的性质,很容易看出
秩 ( A + B ) ⩽ 秩 ( A ) + 秩 ( B ) . \text { 秩 }(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \leqslant \text { 秩 }(\boldsymbol{A})+\text { 秩 }(\boldsymbol{B}) \text {. } 秩 (A+B)⩽ 秩 (A)+ 秩 (B).
2. 乘法
在给出乘法定义之前,我们先看一个引出矩阵乘法的问题.
设 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} x1,x2,x3,x4 和 y 1 , y 2 , y 3 y_{1}, y_{2}, y_{3} y1,y2,y3 是两组变量,
它们之间的关系为
{ x 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + a 13 y 3 , x 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + a 23 y 3 , x 3 = a 31 y 1 + a 32 y 2 + a 33 y 3 , x 4 = a 41 y 1 + a 42 y 2 + a 43 y 3 . \left\{\begin{array}{l} x_{1}=a_{11} y_{1}+a_{12} y_{2}+a_{13} y_{3}, \\ x_{2}=a_{21} y_{1}+a_{22} y_{2}+a_{23} y_{3}, \\ x_{3}=a_{31} y_{1}+a_{32} y_{2}+a_{33} y_{3}, \\ x_{4}=a_{41} y_{1}+a_{42} y_{2}+a_{43} y_{3} . \end{array}\right. ⎩
⎨
⎧x1=a11y1+a12y2+a13y3,x2=a21y1+a22y2+a23y3,x3=a31y1+a32y2+a33y3,x4=a41y1+a42y2+a43y3.
又如 z 1 , z 2 z_{1}, z_{2} z1,z2 是第三组变量, 它们与 y 1 , y 2 , y 3 y_{1}, y_{2}, y_{3} y1,y2,y3 的关系为
{ y 1 = b 11 z 1 + b 12 z 2 , y 2 = b 21 z 1 + b 22 z 2 , y 3 = b 31 z 1 + b 32 z 2 . \left\{\begin{array}{l} y_{1}=b_{11} z_{1}+b_{12} z_{2}, \\ y_{2}=b_{21} z_{1}+b_{22} z_{2}, \\ y_{3}=b_{31} z_{1}+b_{32} z_{2} . \end{array}\right. 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-836256.html
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