0. 简介
矩阵消元
1. 消元过程
实例方程组
{
x
+
2
y
+
z
=
2
3
x
+
8
y
+
z
=
12
4
y
+
z
=
2
\begin{cases} x+2y+z=2\\ 3x+8y+z=12\\ 4y+z=2 \end{cases}
⎩
⎨
⎧x+2y+z=23x+8y+z=124y+z=2
矩阵化
A
=
[
1
2
1
3
8
1
0
4
1
]
X
=
[
x
y
z
]
A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \\ X= \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}
A=
130284111
X=
xyz
B
=
[
2
12
2
]
B= \begin{bmatrix} 2\\12\\2 \end{bmatrix}
B=
2122
消元
[
1
2
1
3
8
1
0
4
1
]
⟶
(
2
,
1
)
[
1
2
1
0
2
−
2
0
4
1
]
⟶
(
3
,
2
)
[
1
2
1
0
2
−
2
0
0
5
]
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \stackrel{(2,1)}{\longrightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \stackrel{(3,2)}\longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}
130284111
⟶(2,1)
1002241−21
⟶(3,2)
1002201−25
回代
[
2
12
2
]
⟶
r
o
w
2
−
3
r
o
w
1
[
2
6
2
]
⟶
r
o
w
3
−
2
r
o
w
2
[
2
6
−
10
]
\begin{bmatrix} 2 \\ 12 \\ 2 \end{bmatrix} \stackrel{row_2-3row_1}\longrightarrow \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ 2 \end{bmatrix} \stackrel{row_3-2row_2}\longrightarrow \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\-10 \end{bmatrix}
2122
⟶row2−3row1
262
⟶row3−2row2
26−10
求解
[
1
2
1
0
2
−
2
0
0
5
]
[
x
y
z
]
=
[
2
6
−
10
]
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 5 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -10 \end{bmatrix}
1002201−25
xyz
=
26−10
结果
[
x
y
z
]
=
[
2
1
−
2
]
\begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\\1 \\ -2 \end{bmatrix}
xyz
=
21−2
2. 消元矩阵
将上述消元的过程变为矩阵相乘的形式。
向量式思考
矩阵乘列向量
[
.
.
.
.
.
.
.
.
.
]
[
x
y
z
]
=
[
x
∗
c
o
l
1
+
y
∗
c
o
l
2
+
z
∗
c
o
l
3
]
\begin{bmatrix} . & . & .\\ . & . & .\\ . & . & . \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\ x \\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x*col1 +y*col2 +z*col3 \end{bmatrix}
.........
xyz
=[x∗col1+y∗col2+z∗col3]
行向量乘矩阵
[
x
y
z
]
[
.
.
.
.
.
.
.
.
.
]
=
[
x
∗
r
o
w
1
+
y
∗
r
o
w
2
+
z
∗
r
o
w
3
]
\begin{bmatrix}\ x \ y\ z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} . & . & .\\ . & . & .\\ . & . & . \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x*row1 \\+\\y*row2 \\+\\z*row3 \end{bmatrix}
[ x y z]
.........
=
x∗row1+y∗row2+z∗row3
一个矩阵左边乘一个单位矩阵并不改变其值
A
=
[
1
2
1
3
8
1
0
4
1
]
=
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
[
1
2
1
3
8
1
0
4
1
]
A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 3 & 8 & 1\\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 3 & 8 & 1\\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}
A=
130284111
=
100010001
130284111
而做行的加减则可以
A
=
[
1
2
1
3
8
1
0
4
1
]
A
′
=
[
1
0
0
−
3
1
0
0
0
1
]
[
1
2
1
3
8
1
0
4
1
]
=
[
1
2
1
0
2
−
2
0
4
1
]
A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 3 & 8 & 1\\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}\\ A'= \begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ -3 & 1 & 0\\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 3 & 8 & 1\\ 0 & 4 &1 \end{bmatrix}=\\ \begin{bmatrix} 1 & 2 &1 \\ 0 & 2 & -2\\ 0& 4 & 1 \end{bmatrix}
A=
130284111
A′=
1−30010001
130284111
=
1002241−21
实际上这个过程就是，我们在之前的消元过程中的第二行减去三倍第一行的过程。我们继续下去将这个矩阵对角化。
A
′
′
=
[
1
0
0
0
1
0
0
−
2
1
]
A
′
=
[
1
0
0
0
1
0
0
−
2
1
]
[
1
2
1
0
2
−
2
0
4
1
]
=
[
1
2
1
0
2
−
2
0
0
5
]
A''= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} A'\\= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}
A′′=
10001−2001
A′=
10001−2001
1002241−21
=
1002201−25
我们令最后的上三角矩阵为
U
=
[
1
2
1
0
2
−
2
0
0
5
]
U=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}
U=
1002201−25
两个变换矩阵为
E
21
=
[
1
0
0
−
3
1
0
0
0
1
]
E
32
=
[
1
0
0
0
1
0
0
−
2
1
]
E_{21}=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ -3 & 1 & 0\\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix} \\ E_{32}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}
E21=
1−30010001
E32=
10001−2001
则
E
32
(
E
21
A
)
=
U
E_{32}(E_{21}A)=U
E32(E21A)=U
而矩阵乘法满足结合律证明即
E
32
E
21
A
=
E
32
(
E
21
A
)
E_{32}E_{21}A=E_{32}(E_{21}A)
E32E21A=E32(E21A)
所以最终消元的过程变成了寻找矩阵E的过程
E
=
E
32
E
21
E=E_{32}E_{21}
E=E32E21
这一过程。
3. 置换矩阵
在上述的消元矩阵中，我们并没有进行列的交换。那么如何进行交换呢？
我们知道在原矩阵基础左边乘单位矩阵，矩阵不会发生变化。
A
=
[
1
2
3
4
]
=
[
1
0
0
1
]
[
1
2
3
4
]
A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=\ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
A=[1324]= [1001][1324]
如何交换两行呢，将单位矩阵变形
A
′
=
[
0
1
1
0
]
[
1
2
3
4
]
=
[
3
4
1
2
]
A'= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2 \end{bmatrix}
A′=[0110][1324]=[3142]
推广到多行
A
=
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}
A=
147258369
- 行变换
交换第一行和第三行
A ′ = [ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ] [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] A'= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} A′= 001010100 147258369
交换第一行和第二行
A ′ ′ = [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] A''= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} A′′= 010100001 147258369
所以交换任意两行，只需将单位矩阵中对应行 1 1 1的位置进行交换。
- 列变换
在矩阵左边乘是对原矩阵行变换，而在矩阵右边则是列变换
交换矩阵两列
A
=
[
1
2
3
4
]
A
′
=
[
1
2
3
4
]
[
0
1
1
0
]
=
[
2
1
4
3
]
A= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix} \\ A'= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{bmatrix}
A=[1324]A′=[1324][0110]=[2413]
交换多列也是一样的效果
交换第
1
1
1第
2
2
2列
A
=
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
A
′
=
[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
[
0
1
0
1
0
0
0
0
1
]
=
[
2
1
3
5
4
6
8
7
9
]
A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\\ \end{bmatrix} \\ A'= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3\\ 5 & 4 & 6\\ 8 & 7 & 9\\ \end{bmatrix}
A=
147258369
A′=
147258369
010100001
=
258147369
所以交换任意两列，只需将单位矩阵中对应行
1
1
1的位置进行交换。
与行交换的不同地方在于，矩阵乘的在右边了。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-836712.html
4. 矩阵的逆
A = [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] A − 1 = [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] A − 1 A = [ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 &0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ A^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}\\ A^{-1}A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 &0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A= 1−30010001 A−1= 130010001 A−1A= 130010001 1−30010001 = 100010001 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-836712.html
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