【线性代数基础】从面积看行列式

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了【线性代数基础】从面积看行列式。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

【线性代数基础】从面积看行列式

要想探索线性代数的世界,矩阵和行列式是绕不开的。
国内大部分线性代数教材基本都从行列式开始讲起。在初学者眼中,课本上来就是概念输出,讲行列式和矩阵,将一堆数字按照特定的规则进行代数运算,很容易让人一头雾水。
本文将从线代学习者的角度,对线代中的一些概念进行进一步的阐释。当然,这些理解都是最基础的,随着学习的深入,我们对线性代数这门课的理解也会不断加深,看待问题的角度也会上升一个层次。
请选择性食用。

从面积到行列式

中学阶段,我们常常在圆锥曲线某些大题中遇到这样的问题,求下图平行四边形(或是三角形)的面积:
【线性代数基础】从面积看行列式,线性代数
求面积这样的题型我们并不陌生,从小学阶段开始,我们就开始学习各种求面积的方法,什么割补法之类的。而到了中学阶段,我们学习了平面直角坐标系,将图形放在坐标系中研究,而现在,我们将从行列式的角度重新探索这道题目。
我们观察发现,这里的平行四边形,是由向量 C B → \overrightarrow{CB} CB 和向量 C A → \overrightarrow{CA} CA 张成的。为了直观表示,我们可以将向量 C A → \overrightarrow{CA} CA 分解,再利用平行线的一些性质进行推导,如下图:
【线性代数基础】从面积看行列式,线性代数

显然 S 平行四边形 A C B D = S 平行四边形 B G E C + S 平行四边形 D G E A S_{平行四边形ACBD}=S_{平行四边形BGEC}+S_{平行四边形DGEA} S平行四边形ACBD=S平行四边形BGEC+S平行四边形DGEA
A ( 2 , 1 ) , B ( − 1 , 3 ) A(2,1),B(-1,3) A(2,1),B(1,3)
S 平行四边形 B G E C = 2 × 3 S_{平行四边形BGEC}=2\times 3 S平行四边形BGEC=2×3
S 平行四边形 D G E A = 1 × ( − ( − 1 ) ) S_{平行四边形DGEA}=1\times(-(-1)) S平行四边形DGEA=1×((1))
S 平行四边形 A C B D = 2 × 3 − 1 × ( − 1 ) = 7 S_{平行四边形ACBD}=2\times3-1\times(-1)=7 S平行四边形ACBD=2×31×(1)=7

我们对上述推导进行推广:对于 O A → = ( a , b ) , O B → = ( c , d ) , S 平行四边形 A O B C = ∣ a d − c b ∣ . \overrightarrow{OA}=(a,b),\overrightarrow{OB}=(c,d),S_{平行四边形AOBC}=|ad-cb|. OA =(a,b),OB =(c,d),S平行四边形AOBC=adcb∣.
为什么要加绝对值呢?很显然, a d ad ad的值未必比 c d cd cd大,我们发现,当 O B → \overrightarrow{OB} OB O A → \overrightarrow{OA} OA 的逆时针方向时,这个值为正,在同一方向上,这个值为零,顺时针方向时,这个值为负。
这样的话,我们难免会有一种感觉,面积是有方向的,可正可负可为零,而事实上,也的确有相关的概念——有向面积。
是不是对面积又有了更进一步的认识?
我们借助有向面积的概念,就可以大胆地把绝对值去掉了,而我们再看这个表达式,有没有一种行列式的味道?这个量写成行列式形式是:
D = ∣ a b c d ∣ D= \begin{vmatrix} a &b\\ c & d \end{vmatrix} D= acbd
既然行列式与有向面积难舍难分,我们不妨从有向面积的角度对行列式(二阶)的某些简单性质进行解释:
1、对换行列式的两行(列),行列式变号.
对换行列式的两行,相当于 x , y x,y x,y轴互换,从 O A → \overrightarrow{OA} OA O B → \overrightarrow{OB} OB 的方向发生改变,有向面积变号,对应行列式的值也相应变号,而对换行列式的两列,相对于两向量的地位交换,行列式的值变号。
2、行列式某一列中所有元素都乘同一数k,等于用数k乘此行列式.
此操作相当于将其中一个向量拉长到原来的k倍,面积自然也变成原来的k倍,如下图:
【线性代数基础】从面积看行列式,线性代数
3、行列式中如果有两列元素成比例,则此行列式等于零.
理解起来很简单,如果有两列元素成比例,则显然两向量共线,张成的图形面积必然是零。【线性代数基础】从面积看行列式,线性代数
4、若行列式某一列的元素都是两数之和,则这个行列式可以拆分成两个行列式之和.
【线性代数基础】从面积看行列式,线性代数
显然:
S 平行四边形 E C B F = S 平行四边形 A C B D + S 平行四边形 A E F D S_{平行四边形ECBF}=S_{平行四边形ACBD}+S_{平行四边形AEFD} S平行四边形ECBF=S平行四边形ACBD+S平行四边形AEFD
同样是使用向量平移,和平行线的性质。
用行列式表示就是:
∣ 3 2 − 1 3 ∣ = ∣ 3 1 + 1 − 1 2 + 1 ∣ = ∣ 3 1 − 1 2 ∣ + ∣ 3 1 − 1 1 ∣ = 11 \begin{vmatrix} 3 & 2\\-1 & 3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & 1+1\\-1 & 2+1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & 1\\-1 & 2 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 3 & 1\\-1 & 1 \end{vmatrix}=11 3123 = 311+12+1 = 3112 + 3111 =11
5、把行列式的某一列的各元素乘同一数然后加到另一列对应的元素上去,行列式不变.
“乘同一数”,是向量伸缩的过程,“加到另一列对应的元素上去”可以看做是向量的合成。
【线性代数基础】从面积看行列式,线性代数
B E → \overrightarrow{BE} BE 就是 C A → \overrightarrow{CA} CA 数乘之后的结果, C E → \overrightarrow{CE} CE ,是合成后的向量,可以看到,无论k是多少,都有 S 平行四边形 A C B D = S 平行四边形 A C E A ′ S_{平行四边形ACBD}=S_{平行四边形ACEA'} S平行四边形ACBD=S平行四边形ACEA,也就是说,行列式的值不变。

方阵的行列式

书上告诉我们:

n n n阶方阵 A A A的元素所构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵 A A A的行列式,记作 d e t A detA detA ∣ A ∣ |A| A.

方阵与行列式有什么关系?
之前我们谈过,一个方阵对应着线性变换,而方阵的行列式可以反映这个线性变换的某些特征。
【线性代数基础】从面积看行列式,线性代数
这是矩阵
A = [ 1 2 1 1 ] A= \begin{bmatrix} 1 & 2\\1 & 1 \end{bmatrix} A=[1121]对应的线性变换,我们发现,原坐标轴上的单位向量 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0) ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)在线性变换变成了 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1) ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2),我们再来观察这两组向量张成图形的面积,正好是方阵行列式的值。
∣ A ∣ = ∣ 1 2 1 1 ∣ = 1 × 1 − 1 × 2 = − 1 |A|=\begin{vmatrix} 1 & 2\\1 & 1 \end{vmatrix}=1\times1-1\times2=-1 A= 1121 =1×11×2=1
原来的 x x x轴转到 y y y轴是逆时针方向,行列式的值为1,变换后的 x ′ x' x轴转到 y ′ y' y轴是顺时针方向,行列式的值为-1,为负数,正好相对应。
【线性代数基础】从面积看行列式,线性代数
当原单位向量张成的图形面积为1时,方阵的行列式可以表示线性变换对空间的缩放比率。

以上的阐述和讨论针对的是二阶行列式和二阶方阵,而三阶行列式和矩阵则可以表示在三维空间中,至于更高阶的行列式和方阵,可能可以描述更高维空间的某些特征,可惜的是,我们的目光是短浅的,无法直接感受高维空间是什么样子,而数学像一把火炬,让这个世界慢慢展现在我们面前。

今天是大年除夕,祝各位探索者们龙年大吉,阖家欢乐!!!

来自微信公众号@中国矿业大学北京的窗花:
【线性代数基础】从面积看行列式,线性代数
没抢到我矿的红包封面文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-836790.html

到了这里,关于【线性代数基础】从面积看行列式的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • 线性代数复习:行列式

    求行列式就是求这个行列式的值 二,三阶行列式:可以用:对角线法则和沙路法做 对角线法则: 主对角线和的值减去 副对角线积的和值。 a b c d : 值就是ad-bc 注意:n阶:n行n列. 1.下三角法则(主对角线以上都为0): 把行列式化为下三角行列式值等于主对角线的元素的值的

    2024年02月07日
    浏览(42)
  • 线性代数笔记1-二阶行列式和三阶行列式

    本笔记记录自B站《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师第一课 有2行2列,4个元素 ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ begin{vmatrix} a_{11} a_{12}\\\\ a_{21} a_{22} end{vmatrix} ∣ ∣ ​ a 11 ​ a 21 ​ ​ a 12 ​ a 22 ​ ​ ∣ ∣ ​ a i j a_{ij} a ij ​ : i是行标,j是列标 ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣

    2023年04月09日
    浏览(46)
  • 线性代数——行列式相关性质

    目录 一、行列式与它的转置列行列式相等 二、对换行列式的两行(列),行列式变号  三、行列式某行(列)有公因子k,则k可以提到行列式外 四、行列式中若两行成比例,则行列式为0 五、行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则  六、将行列式的某行(列)元素乘

    2024年01月19日
    浏览(57)
  • 线性代数 第一章 行列式

    一、概念 不同行不同列元素乘积的代数和(共n!项) 二、性质 经转置行列式的值不变,即 ; 某行有公因数k,可把k提到行列式外。特别地,某行元素全为0,则行列式的值为0; 两行互换行列式变号,特别地,两行相等行列式值为0,两行成比例行列式值为0; 某行所有元素都

    2024年02月06日
    浏览(52)
  • 线性代数行列式的几何含义

    行列式可以看做是一系列列向量的排列,并且每个列向量的分量可以理解为其对应标准正交基下的坐标。 行列式有非常直观的几何意义,例如: 二维行列式按列向量排列依次是 a mathbf{a} a 和 b mathbf{b} b ,可以表示 a mathbf{a} a 和 b mathbf{b} b 构成的平行四边形的面积 ∣ a b ∣

    2024年02月11日
    浏览(50)
  • 线性代数的本质(四)——行列式

    行列式引自对线性方程组的求解。考虑两个方程的二元线性方程组 { a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 end{cases} { a 11 ​ x 1 ​ + a 12 ​ x 2 ​ = b 1 ​ a 21 ​ x 1 ​ + a 22 ​ x 2 ​ = b 2 ​ ​ 可使用消元法,得 ( a 11 a 22 − a

    2024年02月07日
    浏览(56)
  • 【线性代数】一、行列式和矩阵

    ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB|=|A||B| ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ 行列互换其值不变, ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T|=|A| ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 ( 由 A A ∗ = ∣ A ∣ E 推 导 而 来 ) |A^*|=|A|^{n-1}(由AA^*=|A|E推导而来) ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 ( 由 A A ∗ = ∣ A ∣ E 推 导 而

    2024年02月05日
    浏览(54)
  • 【线性代数】P1 行列式基本概念

    二阶行列式 二阶行列式:两行两列,四个元素,用 a i j a_{ij} a ij ​ 表示,其中 i i i 表示行标, j j j 表示列标。 左上角到右下角为主对角线,左下角到右上角为次对角线; 行列式的值为主对角线上的值相乘减去次对角线相乘的值。 三阶行列式 三阶行列式:三行三列,九个

    2023年04月24日
    浏览(40)
  • 线性代数——行列式按行(列)展开

    目录 一、余子式:将行列式某元素所在行和列的元素全去掉 剩余部分所构成的行列式,称为该元素的余子式 二、代数余子式 三、行列式等于它的任一行(列)的各元素与对应代数余子式乘积之和  四、行列式某行元素(列)与其他行(列)对应元素的代数余子式相乘,然后

    2024年01月17日
    浏览(46)
  • 【线性代数】P4 行列式相乘+范德蒙德行列式+克莱姆法则 cramer

    行列式相乘的原则,就是将第一个行列式中依次将每行的每个元素分别与第二个行列式每列的每个元素进行相加再相乘。 其实这样理解:已知两个行列式,如上,相乘有新行列式,新行列式左上角第一个值为: a 11 *b 11 +a 12 *b 21 +a 13 *b 31 实例2: 当然,三阶行列式无法与四阶

    2024年02月02日
    浏览(50)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包