线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）
形式为
LMI
(
y
)
=
A
0
+
A
1
y
1
+
A
2
y
2
+
⋯
≥
0
\text{LMI}(y)=A_0+A_1y_1+A_2y_2+\cdots \geq 0
LMI(y)=A0+A1y1+A2y2+⋯≥0
其中
A
0
,
A
1
,
A
2
,
.
.
.
A_0,A_1,A_2,...
A0,A1,A2,...为对称方阵。
例子
若
LMI
(
y
)
=
[
y
1
+
y
2
y
2
+
1
y
1
+
1
y
3
]
,
\text{LMI}(y)=\left[ \begin{matrix} y_1+y_2 & y_2+1 \\ y_1+1&y_3\end{matrix} \right],
LMI(y)=[y1+y2y1+1y2+1y3],
则对应
A
0
=
[
0
1
1
0
]
,
A
1
=
[
1
0
1
0
]
,
A
2
=
[
1
1
0
0
]
,
A
3
=
[
0
0
0
1
.
]
A_0=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\1&0\end{matrix} \right], A_1=\left[ \begin{matrix} 1& 0\\ 1&0\end{matrix} \right],A_2=\left[ \begin{matrix} 1 &1 \\ 0&0\end{matrix} \right],A_3=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0&1\end{matrix} .\right]
A0=[0110],A1=[1100],A2=[1010],A3=[0001.]
随着解决线性矩阵不等式的内点法的提出、以及 MATLAB 软件中 LMI 工具箱的推出，线性矩阵不等式这一工具越来越受到人们的注意和重视。
Lyapunov稳定性
假设可以找到一个正定的Lyapunov函数
V
V
V（即
V
>
0
V>0
V>0）且
V
˙
<
0
\dot{V}<0
V˙<0，则可以证明系统是稳定的。以线性系统为例：
x
˙
=
A
x
+
B
u
.
\dot{x}=Ax+Bu.
x˙=Ax+Bu.
假设反馈控制
u
=
−
K
x
.
u=-Kx.
u=−Kx.
取Lyapunov函数为
V
(
x
)
=
x
T
P
x
,
V(x)=x^{T}Px,
V(x)=xTPx,
其中
P
P
P正定且对称，即
P
≻
0
,
P
=
P
T
P\succ0,P=P^{T}
P≻0,P=PT。Lyapunov的导数为
V
˙
(
x
)
=
x
T
P
x
˙
+
x
˙
T
P
x
=
x
T
P
(
A
−
B
K
)
x
+
x
T
(
A
−
B
K
)
T
P
x
=
−
x
T
Q
x
,
\begin{aligned} \dot{V}(x)= & x^TP\dot{x}+\dot{x}^TPx \\ =&x^TP(A-BK)x+x^T(A-BK)^TPx\\ =&-x^TQx, \end{aligned}
V˙(x)===xTPx˙+x˙TPxxTP(A−BK)x+xT(A−BK)TPx−xTQx,
其中
Q
=
−
(
A
T
P
+
P
A
−
P
B
K
−
K
T
B
T
P
)
.
Q=-(A^TP+PA-PBK-K^TB^TP).
Q=−(ATP+PA−PBK−KTBTP).
若能证明
Q
≻
0
Q \succ 0
Q≻0，则该系统渐近稳定。
最优控制中常取
K
=
−
1
2
R
−
1
B
T
P
T
,
K=-\frac{1}{2}R^{-1}B^TP^T,
K=−21R−1BTPT,
其中，前提矩阵
R
R
R满足
R
=
R
T
≻
0
R=R^T \succ 0
R=RT≻0、
R
−
1
R^{-1}
R−1存在且有界，于是，
Q
=
−
(
A
T
P
+
P
A
−
P
B
R
−
1
B
T
P
T
)
.
(1)
Q=-(A^TP+PA-PBR^{-1}B^TP^T). \tag{1}
Q=−(ATP+PA−PBR−1BTPT).(1)
Schur Complement
Schur Complement可用于对一个块矩阵进行等价转换。
定义
假设一个
n
×
n
n \times n
n×n的矩阵
M
M
M可以写成一个块矩阵形式：
M
=
[
A
B
C
D
]
.
M=\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right].
M=[ACBD].
-
若 D D D是可逆的，则 D D D在 M M M中的舒尔补存在且为
A − B D − 1 C ; A-BD^{-1}C; A−BD−1C; -
若 A A A是可逆的，则 A A A在 M M M中的舒尔补存在且为
D − C A − 1 B . D-CA^{-1}B. D−CA−1B.
“来历”：对方程
[ A B C D ] [ x y ] = [ p q ] , \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right], [ACBD][xy]=[pq],
使用高斯消元法，由 D D D可逆有
( A − B D − 1 C ) x = p − B D − 1 q . (A-BD^{-1}C)x=p-BD^{-1}q. (A−BD−1C)x=p−BD−1q.
由 A A A可逆有
( D − C A − 1 B ) y = q − C A − 1 p . (D-CA^{-1}B)y=q-CA^{-1}p. (D−CA−1B)y=q−CA−1p.
未知数前面的系数即为舒尔补。
Schur Complement作用/性质
-
将 M M M分别变为上三角或者下三角矩阵：若 D D D可逆，则
M = [ A B C D ] = [ I B D − 1 0 I ] [ A − B D − 1 C 0 0 D ] [ I 0 D − 1 C I ] ; M=\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} I & BD^{-1} \\ 0 & I \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} A-BD^{-1}C & 0 \\ 0 & D \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} I & 0 \\ D^{-1}C & I \end{matrix} \right]; M=[ACBD]=[I0BD−1I][A−BD−1C00D][ID−1C0I];
若 A A A可逆，则
M = [ A B C D ] = [ I 0 C A − 1 I ] [ A 0 0 D − C A − 1 B ] [ I A − 1 B 0 I ] . M=\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} I & 0\\ CA^{-1} & I \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} A & 0 \\ 0 & D-CA^{-1}B \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} I & A^{-1}B \\ 0 & I \end{matrix} \right]. M=[ACBD]=[ICA−10I][A00D−CA−1B][I0A−1BI].
利用该性质可以快速求解矩阵 M M M的逆。 -
特殊性质：若 M M M是对称的，即
M = [ A B B T C ] , M=\left[ \begin{matrix} A & B \\ B^T & C \end{matrix} \right], M=[ABTBC],
若 C C C可逆，则有下列性质： -
M ≻ 0 M \succ 0 M≻0，则有且仅有 C ≻ 0 C \succ 0 C≻0且 A − B C − 1 B T ≻ 0 A-BC^{-1}B^T \succ 0 A−BC−1BT≻0；
-
若 C ≻ 0 C \succ 0 C≻0，则 M ≻ 0 M \succ 0 M≻0有且仅有 A − B C − 1 B T ≻ 0 A-BC^{-1}B ^T\succ 0 A−BC−1BT≻0。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-837042.html
利用Schur Complement将LMI和Lyapunov联系起来
利用舒尔补的特殊性质，式
(
1
)
(1)
(1)大于0等效为
[
−
A
T
P
−
P
A
P
B
B
T
P
T
R
]
≻
0.
\left[ \begin{matrix} -A^TP-PA & PB \\ B^TP^T&R \end{matrix} \right] \succ 0.
[−ATP−PABTPTPBR]≻0.
Lyapunov稳定性的判定条件转化为线性形式，从而方便用软件包数值求解。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-837042.html
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