3维旋转--三维旋转矩阵

三维旋转矩阵

二维旋转

先考虑二维的旋转，根据三角函数的关系，可以得到：
{ x ′ = ∣ O P ∣ ⋅ cos ⁡ ( α + β ) = ∣ O P ∣ ⋅ ( cos ⁡ α ⋅ cos ⁡ β − sin ⁡ α ⋅ sin ⁡ β ) = x ⋅ cos ⁡ β − y ⋅ sin ⁡ β y ′ = ∣ O P ∣ ⋅ sin ⁡ ( α + β ) = ∣ O P ∣ ⋅ ( cos ⁡ α ⋅ sin ⁡ β + sin ⁡ α ⋅ cos ⁡ β ) = x ⋅ sin ⁡ β + y ⋅ cos ⁡ β \begin{cases}x'=\begin{vmatrix}OP\end{vmatrix}\cdot\cos(\alpha+\beta)=\begin{vmatrix}OP\end{vmatrix}\cdot(\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta)=x\cdot\cos\beta-y\cdot\sin\beta\\y'=\begin{vmatrix}OP\end{vmatrix}\cdot\sin(\alpha+\beta)=\begin{vmatrix}OP\end{vmatrix}\cdot(\cos\alpha\cdot\sin\beta+\sin\alpha\cdot\cos\beta)=x\cdot\sin\beta+y\cdot\cos\beta\end{cases} {x′= ​OP​ ​⋅cos(α+β)= ​OP​ ​⋅(cosα⋅cosβ−sinα⋅sinβ)=x⋅cosβ−y⋅sinβy′= ​OP​ ​⋅sin(α+β)= ​OP​ ​⋅(cosα⋅sinβ+sinα⋅cosβ)=x⋅sinβ+y⋅cosβ​
用矩阵形式表示：
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}\\ y^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right].\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$
旋转矩阵即为：
$$\left[\begin{array}{cc}\cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right]$$

三维旋转

借助二维旋转矩阵，可以推广到三维的情况中，这里我们考虑$X,Y,Z$的情况（暂时只考虑了正方向的转动，逆方向是正向旋转矩阵的逆矩阵，由于旋转矩阵是正交阵，所以逆矩阵是转置矩阵）

1. 绕$z$轴

绕$z$轴比较简单，直接增加一个$z$轴，坐标$z$不变即可：
{ x ′ = x ⋅ cos ⁡ β − y ⋅ sin ⁡ β y ′ = x ⋅ sin ⁡ β + y ⋅ cos ⁡ β z ′ = z [ x ′ y ′ z ′ ] = [ cos ⁡ β − sin ⁡ β 0 sin ⁡ β cos ⁡ β 0 0 0 1 ] ⋅ [ x y z ] \begin{gathered} \begin{cases}x^{'}=x\cdot\cos\beta-y\cdot\sin\beta\\y^{'}=x\cdot\sin\beta+y\cdot\cos\beta\\z^{'}=z\end{cases} \\ \begin{bmatrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\cos\beta}&-\sin\beta&0\\\sin\beta&\cos\beta&0\\0&0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} \end{gathered} ⎩ ⎨ ⎧​x′=x⋅cosβ−y⋅sinβy′=x⋅sinβ+y⋅cosβz′=z​ ​x′y′z′​ ​= ​cosβsinβ0​−sinβcosβ0​001​ ​⋅ ​xyz​ ​​

2. 绕$y$轴

同绕$z$轴类似，让$y$不变即可；
{ x ′ = x ⋅ cos ⁡ β + z ⋅ sin ⁡ β y ′ = y z ′ = − x ⋅ sin ⁡ β + z ⋅ cos ⁡ β [ x ′ y ′ z ′ ] = [ cos ⁡ β 0 sin ⁡ β 0 1 0 − sin ⁡ β 0 cos ⁡ β ] ⋅ [ x y z ] \begin{gathered} \begin{cases}x^{'}=x\cdot\cos\beta+z\cdot\sin\beta\\y^{'}=y\\z^{'}=-x\cdot\sin\beta+ z\cdot\cos\beta\end{cases} \\ \begin{bmatrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\cos\beta}&0&\sin\beta\\0&1&0\\-\sin\beta&0&\cos\beta\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} \end{gathered} ⎩ ⎨ ⎧​x′=x⋅cosβ+z⋅sinβy′=yz′=−x⋅sinβ+z⋅cosβ​ ​x′y′z′​ ​= ​cosβ0−sinβ​010​sinβ0cosβ​ ​⋅ ​xyz​ ​​

3. 绕$x$轴

{ y ′ = y ⋅ cos ⁡ β − z ⋅ sin ⁡ β z ′ = y ⋅ sin ⁡ β + z ⋅ cos ⁡ β x ′ = x [ y ′ z ′ x ′ ] = [ cos ⁡ β − sin ⁡ β 0 sin ⁡ β cos ⁡ β 0 0 0 1 ] ⋅ [ y z x ] ⇒ [ x ′ y ′ z ′ ] = [ 1 0 0 0 cos ⁡ β − sin ⁡ β 0 sin ⁡ β cos ⁡ β ] ⋅ [ x y z ] \begin{aligned} &\begin{cases}y^{'}=y\cdot\cos\beta-z\cdot\sin\beta\\z^{'}=y\cdot\sin\beta+z\cdot\cos\beta\\x^{'}=x\end{cases} \\ &\begin{bmatrix}y^{'}\\z^{'}\\x^{'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\beta&-\sin\beta&0\\\sin\beta&\cos\beta&0\\0&0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}y\\z\\x\end{bmatrix}\Rightarrow\begin{bmatrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos\beta&-\sin\beta\\0&\sin\beta&\cos\beta\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} \end{aligned} ​⎩ ⎨ ⎧​y′=y⋅cosβ−z⋅sinβz′=y⋅sinβ+z⋅cosβx′=x​ ​y′z′x′​ ​= ​cosβsinβ0​−sinβcosβ0​001​ ​⋅ ​yzx​ ​⇒ ​x′y′z′​ ​= ​100​0cosβsinβ​0−sinβcosβ​ ​⋅ ​xyz​ ​​文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-837117.html

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