在嵌入式设备中用多项式快速计算三角函数和方根-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了在嵌入式设备中用多项式快速计算三角函数和方根。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

惯性传感器的倾角计算要用到三角函数.

在 MCS-51, Cortex M0, M3 之类的芯片上编程时, 能使用的资源是非常有限, 通常只有两位数KB的Flash, 个位数KB的RAM. 如果要使用三角函数和开方就要引入 math.h, 会消耗掉10KB以上的Flash空间. 在很多情况下受硬件资源限制无法使用 math.h, 这时候使用简化的方法进行三角函数和开方运算就非常有意义, OlliW's Bastelseiten在2014年的一篇文章里, 提供了几个实用的计算方法. 下面介绍其计算方法和代码实现.

快速正弦余弦(Sin, Cos)计算

将角度 $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$通过下面的式子转换到 $ \alpha \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 区间

\[\alpha = \frac{2}{\pi} x - \frac{1}{2} \]

于是, 对应 $\alpha$ 的多项式近似计算为

\[\sin\alpha = a_0 - b_1\alpha + a_2\alpha^2 - b_3\alpha^3 + a_4\alpha^4 - b_5\alpha^5 + a_6\alpha^6 \\ \cos\alpha = a_0 + b_1\alpha + a_2\alpha^2 + b_3\alpha^3 + a_4\alpha^4 + b_5\alpha^5 + a_6\alpha^6 \]

如果将上面的符号固定项和变化项分成$A$和$B$两部分

\[A = a_0 + a_2\alpha^2 + a_4\alpha^4 + a_6\alpha^6 \\ B = b_1\alpha + b_3\alpha^3 + b_5\alpha^5 \]

则 $\sin\alpha$ 和 $\cos\alpha$ 可以通过 A 和 B 的值表达

\[\sin\alpha = A - B \\ \cos\alpha = A + B \]

对应的各项系数值

$a_0 = 0.707106781187 \\ a_2 = -0.872348075361 \\ a_4 = 0.179251759526 \\ a_6 = -0.0142718282624 \\ \\ b_1 = -1.110670322264 \\ b_3 = 0.4561589075945 \\ b_5 = -0.0539104694791$

使用上面的计算方式, 结果绝对误差小于$6.5 \times 10^{-6}$, 并且 $\cos^2 x + \sin^2 x$ 不会超过 1. 计算过程只需要7次乘法和7次加法.

C语言实现

const   float coeff[7] = {
  // a0 ~ a6           b1 ~ b5
   0.707106781187,  -1.110670322264,
  -0.872348075361,   0.4561589075945,
   0.179251759526,  -0.0539104694791,
  -0.0142718282624
};

/**
 * @param alpha: value between 0 and 0.5
*/
void sincos_normalized(float alpha, float *sin, float *cos)
{
  int i;
  float alpha_exp = 1.0, part_a = 0, part_b = 0;

  for (i = 0; i < 7; i++)
  {
     if (i % 2 == 0)
     {
        part_a = part_a + (coeff[i] * alpha_exp);
     }
     else
     {
        part_b = part_b + (coeff[i] * alpha_exp);
     }
     alpha_exp = alpha_exp * alpha;
  }
  *sin = part_a - part_b;
  *cos = part_a + part_b;
}

float calculate(float degree_in)
{
  int quadrant, multi;
  float degree = degree_in, alpha, cos, sin, c, s;

  multi = (int)(degree / 90.0);
  degree = degree - (multi * 90.0);
  alpha = (degree / 90) - 0.5;
  sincos_normalized(alpha, &s, &c);
  multi = multi % 4;
  if (multi == 0)
  {
    sin = s;
    cos = c;
  }
  else if (multi == 1)
  {
    sin = c;
    cos = -s;
  }
  else if (multi == 2)
  {
    sin = -s;
    cos = -c;
  }
  else if (multi == 3)
  {
    sin = -c;
    cos = s;
  }
  printf("d_in:%5.0f d:%5.0f a:%10.5f  sin:%10.5f  cos:%10.5f\r\n", degree_in, degree, alpha, sin, cos);
}

计算的结果和 math.h 的 sin cos 函数对比, 数值几乎一样, 仅在个别数值的小数点后第五位会有$\pm1$的差异.

平方根倒数计算

对于1附近的数值, 平方根倒数可以使用牛顿迭代法计算, 实际上非常简单，因为它只涉及加法和乘法，而不涉及除法, 对于 $x \in [0.6, 1.4]$, 计算式为

\[y_0 = 1 \\ y_{n+1} = y_n (1.5 - 0.5 x {y_n}^2) \\ \]

计算两次牛顿迭代需要3次乘法, 而二阶泰勒级数只需要2次, 但是牛顿迭代法精度更高, 甚至比三阶泰勒级数的精度更高. 如果执行三次牛顿迭代则需要6次乘法, 在$0.6 < x < 1.4$的范围内结果精度优于$1 \times 10^{-4}$, 注意$x$的取值范围, 因为近似是以1为中心展开的, 所以离1越远差异越大, 在这个范围之外例如$x = 0.5$的时候, 三次迭代就达不到这个精度. 在实际应用中, 可以将要计算的数值提一个系数转换到 $x \in [0.6, 1.4]$区间进行计算.

C语言实现

float inverse_sqrt(int interates, float x)
{
  float y;

  y = 1.5 - (x / 2);
  while (interates--)
  {
    y = y * (1.5 - 0.5 * x * y * y);
  }
  return y;
}

// 使用 0.5 ~ 2.1 之间的数字测试, 分别迭代5次
int main(int argc, char *const argv[])
{
  int i, j;
  for (i = 0; i < 17; i++)
  {
    printf("%4.1f ", i*0.1 + 0.5);
    for (j = 0; j < 5; j++)
    {
      printf("%11.9f ", inverse_sqrt(j, i*0.1 + 0.5));
    }
    printf("\r\n");
  }
  return 0;
}

快速反正弦(Arcsin)计算

原文最终选择的是多项式近似, 避免了取绝对值等复杂处理, 只是在 $x = \pm 1$ 附近的绝对精度较差, 输出值规范化为 $\pi$，即定义 $\arcsin(x) = \pi \times asin(x)$. 计算式为

\[asin(x) = \frac{x}{2} \times \frac{a_0 + a_2x^2 + a_4x^4 + a_6x^6}{b_0 + b_2x^2 + b_4x^4 + b_6x^6} \]

对应的系数数值为
$a_0 = 0.318309886 \\ a_2 = -0.5182875 \\ a_4 = 0.222375 \\ a_6 = -0.016850156 \\ \\ b_0 = 0.5 \\ b_2 = -0.89745875 \\ b_4 = 0.46138125 \\ b_6 = -0.058377188$

当 $|x|<0.75$时, 绝对误差小于 $1 \times 10^{-5}$, 当 $|x|<0.91$时, 绝对误差小于 $4.2 \times 10^{-5}$, 在 $x \approx 0.997$时, 最大误差为 $0.011$.

C语言实现

const float coeffa[4] = {
  // a0 ~ a6
   0.318309886,
  -0.5182875,
   0.222375,
  -0.016850156
};

const float coeffb[4] = {
  0.5,
  -0.89745875,
  0.46138125,
  -0.058377188
};

const float pi = 3.14159265358979;

float arcsin(float x)
{
  int i;
  float x2 = 1, a = 0, b = 0;

  for (i = 0; i < 4; i ++)
  {
    a = a + coeffa[i] * x2;
    b = b + coeffb[i] * x2;
    x2 = x2 * x * x;
  }
  return (x * pi / 2) * (a / b);
}

int main(int argc, char *const argv[])
{
  int i;
  float x, alpha, expect;
  for (i = 0; i < 20; i++)
  {
    x = 0.01 + (i * 0.05);
    alpha = arcsin(x);
    expect= asin(x);
    printf("x:%4.2f  a:%9.6f e:%9.6f\r\n", x, alpha, expect);
  }
}

计算结果, 最右侧一列为 math.h 的 asin() 函数, 用于对比

x:0.01  a: 0.010000 e: 0.010000
x:0.06  a: 0.060036 e: 0.060036
x:0.11  a: 0.110223 e: 0.110223
x:0.16  a: 0.160691 e: 0.160691
x:0.21  a: 0.211575 e: 0.211575
x:0.26  a: 0.263022 e: 0.263022
x:0.31  a: 0.315193 e: 0.315193
x:0.36  a: 0.368268 e: 0.368268
x:0.41  a: 0.422454 e: 0.422454
x:0.46  a: 0.477996 e: 0.477995
x:0.51  a: 0.535185 e: 0.535185
x:0.56  a: 0.594386 e: 0.594386
x:0.61  a: 0.656060 e: 0.656061
x:0.66  a: 0.720815 e: 0.720819
x:0.71  a: 0.789485 e: 0.789498
x:0.76  a: 0.863278 e: 0.863313
x:0.81  a: 0.944073 e: 0.944152
x:0.86  a: 1.035139 e: 1.035270
x:0.91  a: 1.143404 e: 1.143284
x:0.96  a: 1.291451 e: 1.287002

将0.9附近细分一下

x:0.90  a: 1.119760 e: 1.119769
x:0.91  a: 1.143404 e: 1.143284
x:0.92  a: 1.168431 e: 1.168081
x:0.93  a: 1.195150 e: 1.194413
x:0.94  a: 1.224027 e: 1.222630
x:0.95  a: 1.255752 e: 1.253236
x:0.96  a: 1.291451 e: 1.287002
x:0.97  a: 1.333107 e: 1.325231
x:0.98  a: 1.384628 e: 1.370462
x:0.99  a: 1.455034 e: 1.429257

在 $0 < x < 0.6$区间的精度最高, 在$0.6 < x < 0.9$区间结果数值偏小, 在$0.9 < x < 1$区间结果数值偏大. 越接近1精度越差, 实际使用时在大于$0.97$时需要做一些补偿.文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-837757.html