【计算机图形学】线性代数在图形学中的应用-Toy模板网

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🙋‍♂️ 作者：海码007

📜 专栏：计算机图形学专栏

💥 标题：【计算机图形学】线性代数在图形学中的应用

❣️ 寄语：对知识永远有兴趣！

🎈 最后：文章作者技术和水平有限，如果文中出现错误，希望大家能指正

0 引言

为什么要总结一下线性代数？因为计算机图形学中有很多线性代数相关的内容。具体如下

计算机图形学是一个涵盖广泛的领域，依赖于多个学科的知识和技术。除了数学之外，还依赖于以下几个主要学科：

计算机科学：计算机图形学直接依赖于计算机科学，包括算法、数据结构、计算机体系结构、编程语言等方面。图形学算法的设计和优化都需要计算机科学的理论和技术支持。
数学：数学是计算机图形学的基石，特别是线性代数、微积分、几何学等方面的知识。在图形学中，数学被广泛应用于几何变换、向量计算、光照模型、曲面建模等方面。
物理学：物理学提供了许多用于模拟自然现象的方法和原理，这在计算机图形学中也是至关重要的。例如，光学原理用于光线追踪和渲染，力学原理用于模拟物体的运动和碰撞。
心理学与感知学：图形学的目标之一是产生逼真的视觉效果，因此需要了解人类视觉系统的工作原理和视觉感知的规律。心理学和感知学的知识可以指导图形学的设计，使得生成的图像更加真实和易于理解。
艺术与设计：图形学不仅仅是一门技术学科，也是一门艺术和设计学科。艺术和设计的原则和技巧可以指导图形学的美学设计和视觉呈现，从而提高图形效果的质量和吸引力。
图像处理与模式识别：图形学与图像处理有密切的联系，图像处理技术常常被用于处理和编辑图形学中生成的图像。另外，模式识别技术也被应用于图形学中的对象识别、形状匹配等任务中。

1 线性代数应用

1.1 点乘

点乘（Dot Product）AB=|A||B|cosθ 在计算机图形学中有广泛的应用，其中包括但不限于以下几个方面：

向量运算：在三维空间中，向量通常被表示为具有三个分量的数组。点乘可以用于计算两个向量之间的夹角、投影、长度等。这在计算机图形学中常用于处理物体的方向、光照计算等。
投影：点乘可以用来计算一个向量在另一个向量方向上的投影。在3D图形中，这可以用于计算阴影效果或者将对象投影到某个平面上。
光照计算：在计算机图形学中，光照计算是一个重要的部分。点乘可以用于计算光照向量和表面法线向量之间的夹角，以及光照向量和视图方向向量之间的夹角，从而影响物体的明暗程度和表面效果。
表面法线计算：点乘可以用于计算表面法线向量，这对于光照模型的计算非常重要。表面法线是垂直于表面的向量，可以用来确定光照的效果以及物体的外观。
纹理映射：在纹理映射中，点乘可以用来计算纹理坐标和表面法线之间的夹角，从而影响纹理在物体表面的显示效果。
射线碰撞检测：射线碰撞检测用于检测一个射线是否与物体相交。在这种情况下，点乘可以用来计算射线的方向向量和物体表面法线之间的夹角。如果夹角为零或者锐角，那么射线与物体相交；如果夹角为直角或者钝角，那么射线与物体不相交。

总的来说，点乘在计算机图形学中扮演着重要的角色，广泛应用于处理向量、光照、投影、纹理映射等方面，是实现各种图形效果和算法的基础之一。

1.2 叉乘

叉乘（Cross Product）在计算机图形学中有多种应用，主要包括以下几个方面：

法线计算：在三维图形渲染中，法线是垂直于表面的向量，用于确定光照和阴影效果。对于平面或曲面，可以使用叉乘来计算法线。通过计算曲面上两条切线向量的叉乘，可以得到该点处的法线向量。
判断点是否在某图形内：在计算机图形学中，我们可以使用向量的叉乘来判断点是否在图形内部。具体来说，我们可以使用以下方法：
- 三角形内部判断：假设我们有一个三角形，由三个顶点A、B和C组成。给定一个点P，我们可以计算向量PA、PB和PC。然后，我们计算这三个向量的叉积：PA × PB、PB × PC和PC × PA。如果这三个叉积的结果都具有相同的方向（即都是正数或都是负数），则点P在三角形ABC的内部。否则，如果有一个叉积的结果与其他两个方向相反，点P在三角形外部。
- 多边形内部判断：对于任意多边形，我们可以将其分解为一系列相邻的三角形。对于每个三角形，我们使用上述方法判断点P是否在三角形内部。如果点P在所有三角形的内部，那么它在整个多边形内部。否则，如果点P在任何一个三角形的外部，它在多边形外部。
刚体运动：在物理模拟和动画中，刚体的旋转运动经常涉及到叉乘。例如，当一个物体绕着一个轴旋转时，可以使用叉乘来计算旋转后的位置和方向。
碰撞检测：在某些碰撞检测算法中，叉乘用于计算相交体的法向量。例如，当两个平面相交时，可以通过计算两个平面的法向量的叉乘来得到相交线的方向。
纹理坐标变换：在纹理映射中，叉乘可以用来计算纹理坐标的变换。例如，通过计算顶点法线和切线的叉乘，可以得到一个副法线，用于在切线空间中变换纹理坐标。
多边形剖分：在计算几何体表面的过程中，叉乘可以用来确定几何体的边界和拓扑关系。例如，在进行三角网格剖分时，可以通过计算边的叉乘来判断网格的方向和形状。
投影和透视变换：在图形渲染中，叉乘可以用来计算相机的视角和透视变换。通过计算相机的方向向量与视场的叉乘，可以得到一个视平面，用于进行透视投影。

1.3 矩阵

矩阵在计算机图形学中有广泛的应用，以下是一些主要的应用领域：

图形变换：矩阵用于描述图形对象的变换，包括平移、旋转、缩放等操作。通过矩阵乘法，可以将这些变换表示为矩阵的乘积，从而对图形对象进行高效的变换操作。
3D图形渲染：在三维图形渲染中，矩阵被广泛用于变换管线中的不同阶段，如模型变换、视图变换、投影变换等。这些变换可以通过矩阵乘法组合起来，从而实现复杂的图形场景的渲染和呈现。
纹理映射：矩阵用于描述纹理坐标的变换，从而实现纹理在图形对象表面的正确映射。通过矩阵变换，可以实现纹理的平移、旋转、缩放等效果，使得纹理在图形表面上正确展示。
光照和阴影计算：在光照模型和阴影计算中，矩阵用于描述光照方向、法线方向等信息，从而计算表面的光照强度和阴影效果。通过矩阵运算，可以高效地计算出图形对象的光照和阴影效果。
骨骼动画：在计算机动画中，矩阵用于描述骨骼和关节的变换关系。通过矩阵乘法，可以实现骨骼的动态变换，从而实现生动逼真的人物动画效果。
图像处理：在图像处理中，矩阵被用于表示图像的像素值、滤波器等信息。通过矩阵运算，可以实现图像的平滑、锐化、边缘检测等各种图像处理操作。

总的来说，矩阵在计算机图形学中扮演着重要的角色，是实现各种图形效果和算法的基础之一。通过矩阵的运算和变换，可以实现复杂的图形渲染、动画效果和图像处理操作。

在计算机图形学中，常见的一些特殊矩阵具有特定的命名，这些命名主要是根据它们的功能和用途来命名的。以下是一些常见的特殊矩阵及其命名：

模型变换矩阵（Model Transformation Matrix）：用于描述图形对象的局部坐标系到世界坐标系的变换关系。包括平移、旋转、缩放等操作的组合。
视图变换矩阵（View Transformation Matrix）：用于描述世界坐标系到相机坐标系的变换关系，通常用于将场景从世界空间投影到相机空间。
投影变换矩阵（Projection Transformation Matrix）：用于描述相机空间到投影空间的投影变换，通常包括透视投影和正交投影两种方式。
视口变换矩阵（Viewport Transformation Matrix）：用于描述投影空间到屏幕空间的变换关系，通常包括平移和缩放等操作，将投影空间的坐标映射到屏幕坐标系上。
法线变换矩阵（Normal Transformation Matrix）：用于描述法线向量在变换过程中的变换关系，通常与模型变换矩阵相伴随，用于保持法线向量的方向不变。
齐次坐标矩阵（Homogeneous Coordinate Matrix）：用于描述图形对象的齐次坐标变换，通常用于描述平移操作。