多数问题求解之蒙特卡洛与分治法-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了多数问题求解之蒙特卡洛与分治法。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

多数问题（Majority Problem）是一个有多种求解方法的经典问题，其问题定义如下：

给定一个大小为 $n$ 的数组，找出其中出现次数超过 $n /2$ 的元素

例如：当输入数组为 $[5, 3, 5, 2, 3, 5, 5]$ ，则 $5$ 是多数（majority）。

本文将介绍该问题的多种求解方法，重点介绍蒙特卡洛与分治法2种。

1. 解决思路

面对一个未知的算法问题，我们最开始很自然地会使用简单粗暴的方法。

1.1 暴力解法

暴力解法就是遍历整个数组，依次判断每个元素是否是多数。其伪代码如下：

Majority(A[1, n])
for(i = 1 to n)
	cnt = 1
	for(j = 1 to n)
		if (i != j and A[i]==A[j])
			cnt++
	end
	if (cnt > n/2) 
		return "A[i] is the majortiy"
 end
 return "No majority"

暴力算法的缺点就是费时间，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。那有什么办法能少一些遍历的时间代价呢？哈希表就是一种用空间换时间的方法。

1.2 哈希表

上面的暴力解法中，我们在循环遍历中更新元素出现的次数，然后再判断是否是多数。可以改为只遍历数组一次，用哈希表记录每个元素出现的次数，然后再遍历哈希表找到出现次数最大的元素，判断其出现次数是否超过 $n /2$ 。

这样时间复杂度降为了 $O (n)$ ，空间复杂度为 $O (n)$ 。时间复杂度还能更优化一点吗？下面让我们来看下分治法的求解思路。

1.3 分治法

我们把原始数组分为两半：在前一半子数组中，找到多数 $A$ ；在后一半子数组中，找到多数 $B$ 。那么原始数组的多数一定在 $A$ 与 $B$ 之间，当二者相等时，原始数组的多数就已经找到了；当二者不等时，比较 $A$ 与 $B$ 出现的次数哪个大于 $n /2$ 即可。

算法的时间复杂度 $T(n)=T(n/2)+2n=O(n\log{n})$ 。具体的C语言代码实现可参见第2节。

1.4 蒙特卡洛法

蒙特卡罗（Monte Carlo）算法是一种随机算法，在一般情况下可以保证对问题的所有实例都以高概率给出正确解，但是通常无法判定一个具体解是否正确。

在多数问题中，蒙特卡洛法的思想是随机从数组中选择一个元素，判断是否是多数。如果不是多数的话，再随机选择一个。在存在多数的情况下，因为随机选择到多数的概率超过 $\frac{1}{2}$ ，算法找不到多数的概率小于 $\frac{1}{2}$ 。

该算法的平均时间复杂度为 $O (n)$ 。

2. 代码

以下C语言代码依次实现了Monte Carlo以及分治法求解多数问题，并比较了两种算法的运行时间。

首先用户需输入测试数据的文件路径，按下回车键。
然后进入Monte Carlo模式需输入重复的次数。
待用户输入完成，按下回车键后，对Monte Carlo算法求解多数问题计时开始，直至输出多数问题的结果计时结束，打印输出运行时间（ms）。
Monte Carlo结束后直接进入分治法求解，开始计时，直至分治法输出多数问题的结果计时结束，打印输出运行时间（ms）。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <windows.h> 

using namespace std;

const int N = 2000000;        //定义数组的最大长度 

int a[N];

bool majorityMC_once(int a[], int len, int *result) { //对长度为len的数组a[]进行一次蒙特卡洛寻找多数 
	int rnd = rand() % len;  //生成[0, len-1)的一个随机下标 
	int x = a[rnd];
	int count = 0;           //记录 x 在数组a[]中出现的次数 
	for (int i = 0; i < len; i++) { 
		if (a[i] == x) {
			count++;
		}
	}
	if (count > (len / 2)) { //若 x 出现次数超过数组长度的一半，则一次蒙特卡洛找到多数，返回true 
		*result = x;         //将找到的多数的值传给result 
		return true;
	} 
	else {                   //否则，一次蒙特卡洛未找到多数，返回false 
		return false;
	}
}

bool majorityMC_k_times(int a[], int len, int *result, int k) { //k次蒙特卡洛 
	for (int i = 1; i <= k; i++) {
		if(majorityMC_once(a, len, result)) { //只要有一次蒙特卡洛找到多数，则返回true              
			return true;
		}
	} 
	return false;                             //k次蒙特卡洛均未找到多数，则返回false 
}

bool majorityDC(int a[], int start, int end, int *result) { //分治法求解多数问题，数组下标区间为[start, end] 
	if (start == end) {
		*result = a[end];
		return true;
	}
	else {
		int m1, m2;
		majorityDC(a, start, (start + end) / 2, &m1);    //m1为前半区间[start, (start + end) / 2]的多数 
		majorityDC(a, (start + end) / 2 + 1, end, &m2);  //m2为后半区间[(start + end) / 2 + 1, end]的多数 
		int count1 = 0, count2 = 0;
		for (int i = start; i <= end; i++) {
			if (a[i] == m1) {     //count1记录m1在数组a[]中出现的次数 
				count1++;
			}
			if (a[i] == m2) {     //count2记录m2在数组a[]中出现的次数 
				count2++;
			}
		}
		if (count1 > ((end - start + 1) / 2)) { //m1在数组a[]中出现的次数大于数组长度的一半，则m1为多数 
			*result = m1;
			return true;
		} 
		else if (count2 > ((end - start + 1) / 2)) { //m2在数组a[]中出现的次数大于数组长度的一半，则m2为多数 
			*result = m2;
			return true;
		}
		else {  
			return false;         //m1, m2均不是多数，则数组a[]的多数不存在
		}
	}
}

int main() {
	srand(time(NULL));  //设置时间函数time(NULL)为随机数种子 
	char s[100];
	cout << "请输入测试数据文件路径：" << endl;
	cin >> s; 
	FILE *fp;
	fp = fopen(s, "r");
	if (fp == NULL) {
		cout << "Can not open the file!" << endl;
		exit(0);
	}
	int i = 0;
	while (fscanf(fp, "%d\n", &a[i]) != EOF) {  //读取文件中的数据到数组a[]中 
		i++;
	}
	fclose(fp); 
	cout << "********************** Monte Carlo *********************" << endl;
	int k;
	cout << "请输入 Monte Carlo 重复的次数： ";
	cin >> k;
	LARGE_INTEGER nFreq;
	LARGE_INTEGER nBeginTime;
	LARGE_INTEGER nEndTime;
	QueryPerformanceFrequency(&nFreq);
	QueryPerformanceCounter(&nBeginTime);  //Monte Carlo计时开始 
	int resultMC;
	if (majorityMC_k_times(a, i, &resultMC, k)) {
		cout << resultMC << " is the majority" << endl;
	} 
	else {
		cout << "Can not find the majority!" << endl;
	}
	QueryPerformanceCounter(&nEndTime);  //Monte Carlo计时结束 
	double time = (double)(nEndTime.QuadPart - nBeginTime.QuadPart) / nFreq.QuadPart * 1000;
	cout << "Running time: " << time << "ms" << endl;
	cout << endl;
	cout << "****************** Divide and Conquer ******************" << endl;
	QueryPerformanceFrequency(&nFreq);
	QueryPerformanceCounter(&nBeginTime);  //分治法计时开始 
	int resultDC;
	if (majorityDC(a, 0, i - 1, &resultDC)) {
		cout << resultDC << " is the majority" << endl;
	} 
	else {
		cout << "Can not find the majority!" << endl;
	}
	QueryPerformanceCounter(&nEndTime);    //分治法计时结束 
	time = (double)(nEndTime.QuadPart - nBeginTime.QuadPart) / nFreq.QuadPart * 1000;
	cout << "Running time: " << time << "ms" << endl;
	return 0;
}