动态规划（DP）：是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程
适用场景：用于求解具有某种最优性质的问题
闫式分析法基本思想：将待求解问题分解成若干个子问题，求解子问题的数学关系式，然后从这些子问题的关系式拼接成原问题的解法，然后将问题的条件从低到题目条件分层计算，需要注意的是经过分层得到的答案往往不是互相独立的，保存已解决的低层答案，在计算下一层或高层数据结果时再找出已求得的答案用以避免大量的重复计算，节省时间
优化方向：DP的所有优化都是对代码的等形变换，它和题目无关，和代码的逻辑有关
代码编写：使用DP应该是使用循环，将运算过程逐渐算出，即层次计算，先计算出底层的数据然后存储，在计算高层数据时再调用所需存储的计算结果，来达到避免重复计算
子问题分解关系式限制：
- 不重复
- 不遗漏
闫式分析法解题步骤：将DP问题中的重要信息提取出来，将题目化成状态表示、状态计算，而状态表示又分为集合和属性，以经典的01背包问题来举例，如下图：
在01背包问题中一共有2^n次方个方案，而求的是其价值最大的方案，在只考虑前i个物品时，分为考虑第 i 个物品和不考虑第 i 个物品，也就是将一个大问题分为了两个子问题。
将两个子问题求解：在求解考虑第i个物品时，需确定背包剩余容量是否能装下第 i 个物品
| 问题 | 代码表示 |
| 考虑第 i 个物品 | f ( i-1，j ) |
| 不考虑第 i 个物品 | f ( i-1，j - v[ i ]) + w[ i ] |
代码（暴力）：01背包问题（一般写法）
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
//题目所定义的物品最大数
const int N = 1010;
//输入的物品数n、背包容量m
int n,m;
//存储物品的体积、价值
int v[N],w[N];
//二维数组解
int f[N][N];
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin >> n >> m;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
cin >> v[i] >> w[i];
}
//循环的是物品数，表示的是考虑前i个物品
for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
//循环的是背包容量，表示的是考虑背包还有j个容量
for(int j = 0; j <= m ; j++){
//左半边子集，即不选取这个物品，保持上层结果
f[i][j] = f[i-1][j];
//背包剩余容量能够装下第i个物品
if(j >= v[i]){
//右半边子集，即当价值大于上层结果，更新集合
f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]] + w[i]);
}
}
}
cout << f[n][m] <<endl;
return 0;
}总结：以物品数为外层循环来循环容量，即对物品从第一个到最后一个都是进行选与不选操作，通过增加物品，来逐层计算，每层计算都只需调用上一层的计算结果来进行简单计算，避免了底层数据多次计算
代码（优化）：01背包问题（优化空间写法）
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
//将原本二维数组优化成了一维数组
int f[N];
int main(){
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = m; j >= v[i]; j -- ){
//权值大于时，才更新
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}总结：
优化一：将原本的二维数组优化为了一维数组，其思想是滚动数组，通过在 i-1 层向 i 层更新的时候，数组逐下从小到大覆盖数据，但数据的计算是下标从大到小进行计算的，这样在计算高层时可以保证数据时低层的文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-840403.html
优化二：由于是一维数组，所以原本左边子问题的关系式可直接省略，因为 f[i][j] = f[i-1][j]; 等式的作用就是等价于原值，所以不进行覆盖即可文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-840403.html
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