动态规划|【路径问题】礼物的最大价值(LCR 166.珠宝的最高价值)

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目录

题目

题目解析

思路

1.状态表示

2.状态转移方程

3.初始化

4.填表顺序

5.返回值

代码


题目

LCR 166. 珠宝的最高价值

(现在leetcode上面是这个题)这个题跟下面这个题叙述方式一样,就拿下面这个 题来讲解)

题目描述:

在一个m*n的棋盘的每一格都放有一个礼物,每个礼物都有一定的价值(价值大于0)。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物,并每次向右或者向下移动一格,直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值,请计算你最多能拿到多少价值的礼物?

示例1:

输入:[[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]

输出:12

解释:路径1-3-5-2-1可以拿到最多价值的礼物

题目解析

用示例1 来举例:输入[[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]],形成如下的一个3*3的矩阵,我们把这个二维矩阵叫cost矩阵,每个位置都是一个对应价值的礼物,要求我们拿到最多价值的礼物,那就意味着,要走最大的值

动态规划|【路径问题】礼物的最大价值(LCR 166.珠宝的最高价值),动态规划 ,动态规划,算法

题目中说从左上角出发,每次可以向下走或者向右走,那个数值大往哪走,右下角为终点,

思路

1.状态表示

        我们这里以某一个位置为结尾来确定状态表示,又根据题目要求,需要我们确定所走路径的拿到礼物的最大价值,所以状态表示dp[i][j]表示起点走到【i,j】位置,此时拿到礼物的最大价值

2.状态转移方程

        状态表示的经验就是根据最近的一步划分问题,那我们怎么到达【i,j】,第一种要么从左边向右走到【i,j】位置,要么从上边向下走到【i,j】位置

所以dp[i][j]可以有两种方式得来

        a)从左边向右走:也就是从【i,j-1】位置走到【i,j】位置,然后拿到【i,j】位置的礼物价值,如果要起点到【i,j】位置拿到礼物的价值最大(dp[i][j]),就需要起点到【i,j-1】位置拿到礼物的价值最大(dp[i][j-1]),因此dp[i][j]=dp[i][j-1]+cost[i][j]

        b)从上边向下走:同理a,这个方式对应的状态转移方程为dp[i][j]=dp[i-1][j]+cost[i][j]

最后取这两种情况的最大值就行

3.初始化

之前说过,初始化的目的就是为了让填表不越界,我们 首先要分析填哪些位置回越界,因为填表的时候是根据状态转移方程来填表的,状态转移方程

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根据这两个公式计算后用最大的那个值填表,计算是一个位置需要这个位置上面的那个值,和这个位置左边的值,但是第一行没有上面的值,第一列没有左边的值。所以第一行和 第一列需要初始化

之前也讲过,虚拟 结点的初始化,虚拟结点就是在创建dp表的时候多创建一行和多创建一列,然后从【1,1】位置开始填表。

虚拟结点里面的值要确保dp表中填的值的准确性。所以填0是最合适的,相当于里面礼物的的价值为0。

4.填表顺序

从上至下,从左至右

5.返回值

因为多开了一行和一列,所以返回dp[m][n]就行。

代码

int jewelleryValue(int** frame, int frameSize, int* frameColSize) 
{
    //创建dp表
    int dp[1000][1000]={0};
    //初始化这个刚好全是0就不用初始化了
    //行和列
    int m=frameSize;
    int n=frameColSize[0];
    for(int i=1;i<m+1;i++){
        for(int j=1;j<n+1;j++)
        {
            dp[i][j]=frame[i-1][j-1]+((dp[i-1][j]>dp[i][j-1])?dp[i-1][j]:dp[i][j-1]);
        }
    }
    return dp[m][n];
}

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