数学建模--无人机定点投放问题（五一杯A题）问题重述、问题分析+模型假设-Toy模板网

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问题再现

问题重述

问题分析

问题一的分析

问题二的分析

问题三的分析

模型假设

问题再现

无人机定点投放问题

随着科学技术的不断发展，无人机在许多领域都有着广泛的应用。对于空中执行定点投放任务的无人机，其投放精度不仅依赖于无人机的操作技术，而且还与无人机执行任务时所处状态和环境有关，例如在接近投放点时无人机的高度、速度，无人机所处位置的风速、投放点周围地理环境等因素。在本题中仅考虑喷气式无人机，请查阅相关资料，研究以下问题：

问题一：假设无人机以平行于水平面的方式飞行，在空中投放物资（物资为球形，半径为20cm，重量为50kg）到达地面指定位置。

（1）建立数学模型，给出无人机投放距离（投放物资时无人机与地面物资指定落地点之间的直线距离）与无人机飞行高度、飞行速度、空气阻力等之间的关系；

（2）假设无人机的飞行高度为300m，飞行速度为300km/h，风速为5m/s，风向与水平面平行。建立数学模型，分别给出无人机飞行方向与风向相同（夹角为0度）、相反（夹角为180度）、垂直（夹角为90度）情况下无人机的投放距离。

问题二：无人机不仅能定点投放物资，而且还可以通过安装在无人机前端的发射筒发射爆炸物疏通河道。其大致过程是：无人机首先水平飞行接近障碍物所处区域，然后俯冲找准时机发射爆炸物，发射结束后无人机随即拉升飞走。现有溢出河流被冰块堆积阻断，需要用无人机发射爆炸物（爆炸物为球形，半径8cm，重量5kg）对目标进行爆破。假设无人机的初始点到目标的水平距离为10000m。受环境影响，无人机必须俯冲发射，并且发射反向与无人机的飞行方向一致。

（1）建立数学模型，给出无人机发射距离（发射点与目标的直线距离）与无人机的飞行高度、飞行速度、俯冲角度及发射速度等因素之间的关系。

（2）假设风速为6m/s，无人机接近目标时的飞行高度为800m、飞行速度为300km/h，爆炸物的发射速度为600km/h（相对于无人机的速度）。要求发射爆炸物时无人机与目标的距离在1000m-3000m之间，且无人机的高度不低于300m，请给出无人机击中目标的发射策略。

问题三：无人机发射爆炸物命中目标的精度和无人机飞行的稳定性有很大关系。相同条件下，无人机发射爆炸物时越稳定，命中目标的精度越高。开始俯冲后，无人机操控员需要不断调整无人机的飞行姿态以修正风向、风速对无人机的影响。

（1）在飞行速度、发射速度一定的情况下，综合考虑各种因素，建立数学模型，量化无人机飞行的稳定性，给出稳定性和命中精度之间的关系，并利用数值仿真等方法对无人机的稳定性进行分析验证。

（2）假设风速为6m/s，无人机的飞行速度范围为300km/h-400km/h，爆炸物的发射速度为500km/h（相对于无人机的速度）。无人机在800m高度开始俯冲，初始俯冲角度为45度，发射爆炸物时的飞行高度不低于300m，请给出为尽量保持无人机稳定而采取的飞行姿态最优调整策略。

问题重述

随着我国科学技术的不断发展，无人机应用到各类领域中。就空中执行定点投放任务的无人机而言，投放精度不仅受到无人机操作技术的影响，而且还和无人机执行投放任务时所处的环境与状态有关。对于喷气式无人机，其投放精度会受到靠近投放点时无人机的高度、速度，无人机投放点周围地理环境、所处位置风速等因素的影响。

因此，本题要求建立数学模型，解决以下问题：

问题一：若无人机采用平行于水平面的方式飞行，在空中投放半径为20cm，重量为50kg的球形物资到地面的指定位置。

1. 建立数学模型，给出无人机投放距离与飞行速度、飞行高度以及空气阻力等因素之间的关系；

2.在无人机的飞行高度为300m，飞行速度为300km/h，风速为5m/s，风向与水平面平行的情况下，建立数学模型计算给出无人机飞行反向与风向相同、相反、垂直的情况下无人机的投放距离。

问题二：若有一处河流被冰块堆积阻断，现需要使用无人机发射半径为8cm，重量为5kg的球形爆炸物。考虑到环境因素的影响，无人机必须俯冲发射，且发射方向与飞行方向一致。

1.建立数学模型，给出无人机发射距离与飞行速度、飞行高度、俯冲角度以及发射速度等因素之间的关系；

2.在风速为6m/s，无人机接近目标时的飞行高度为800m，飞行速度为300km/h，爆炸物的发射速度为600km/h的情况下，若要求发射爆炸物时无人机与目标的距离在1000m至3000m之间，且无人机的飞行高度高于或等于300m，请给出无人机击中目标的发射策略。

问题三：无人机发射爆炸物命中目标的精度与无人机飞行的稳定性之间有很强的相关关系，在同等条件下，若无人机发射爆炸物时越稳定，则命中目标的精度越高。基于此，在无人机开始俯冲后，操控员需不断调整无人机的飞行姿态以修正风向、风速对无人机的影响。

1.在无人机飞行速度、爆炸物发射速度一定的情况下，综合考虑各种因素，建立数学模型来量化无人机飞行的稳定性。试给出命中目标的精度与飞行稳定性之间的关系，并利用数值仿真等方法对无人机的稳定性进行分析验证；

2.若风速为6m/s，无人机的飞行速度取值在300km/h与400km/h之间，爆炸物相对于无人机的发射速度为500km/h，无人机在800m高度开始俯冲，初始俯冲角度为45°。要求发射爆炸物时无人机的飞行高度不低于300m，请给出为尽量保持无人机稳定而采取的飞行姿态最优调整策略。

需要注意的是，在参加比赛时，问题重述一定不能完全照抄题干，要进行修改降重。

问题分析

问题一的分析

在接近投放点时，无人机的高度、速度、所处位置的风速等因素均会对物资投放造成影响。基于此，本文查阅相关资料，发现球体的空气阻力计算公式为卡门-柯西公式，随后综合考虑无人机的飞行高度、飞行速度和空气阻力，对无人机进行受力分析，之后依托牛顿第二定律，构建微分方程模型，得出无人机投放距离与飞行高度、飞行速度、空气阻力等因素之间的关系。

对于第二小问，根据题目所给的数据及要求可知，风速为5m/s，而无人机的飞行速度为300km/h。基于此，本文将300km/h经单位换算成83.33m/s，随后计算在风向与无人机飞行方向相同、相反以及垂直三种情况下物资的相对速度。最终，将各项数据代入第一小问求得的等量关系式，得出物资到地面指定位置水平水平上的距离，最终根据勾股定理，代入无人机的飞行高度和物资距指定位置水平上的距离，求解得出无人机的投放距离。

问题二的分析

问题二要求在无人机的初始点到目标的水平距离为10000m的情况下，给出无人机的发射距离与飞行速度、飞行高度、俯冲角度以及爆炸物发射速度等因素之间的关系式，并结合此式在实际情境下制定一个无人机击中目标的发射策略。基于此，可以将无人机发射爆炸物的整个过程分为三段，分别为无人机平稳飞行阶段、无人机俯冲阶段和爆炸物做斜抛运动阶段。在无人机平稳飞行阶段，可将其视为水平方向的匀速运动，在俯冲阶段，可将其视为水平方向上和竖直方向上的匀速运动。在斜抛阶段，可将其视为有初速度的抛体运动。之后将下降过程分解为水平方向上和竖直方向上的运动，结合速度、位移、加速度之间的等量关系列微分方程组求解。进而得到无人机发射距离与多种因素之间的关系。

对于第二小问，延续第一小问的思路，仅考虑水平方向上风的影响。将水平方向上的风分解成与目标方向共线和与目标方向垂直两个方向。其中，与目标方向共线的风仅会改变爆炸物的飞行速度，而不会改变爆炸物的飞行方向。基于此，仅需考虑俯冲角度以修正垂直方向上的风对爆炸物的影响。之后，运用第一小问求解得到的等量关系式，结合实际情况，将飞行速度、飞行高度等数值代入即可求解得出无人机与目标的距离、俯冲飞行时间等变量，进而制定击中目标的爆炸物发射策略。

问题三的分析

问题三要求综合考虑多种因素，建立数学模型用于量化无人机飞行的稳定性以及稳定性与命中精度之间的定量关系。由问题一、二易得，无人机的飞行稳定性会受到飞行速度、发射速度和俯冲角度的影响。在查阅相关文献后，本文又引入了风速角度变化量来度量飞行稳定性。与此同时，本文利用matlab进行了数值仿真来验证构建模型的准确性。最终，本文在第二小问的实际情境下，利用构建的模型进行求解，得出保持无人机稳定飞行的飞行策略，如俯冲角度的调整和飞行速度的调整等。