高等代数复习：矩阵-Toy模板网

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本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
参考书：《高等代数学》谢启鸿姚慕生吴泉水编著

1.相抵标准型

定义相抵：设矩阵A,B，若A经有限次初等变换后变成B，则称A与B相抵

相抵标准型：
任一 $m\times n$ 型矩阵 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ 必相抵于以下 $m\times n$ 矩阵
$\begin{pmatrix} 1&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&\cdots&1&0&\cdots&0\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \end{pmatrix}$
其中矩阵的前r个对角元素为1，其余为0，该矩阵称为A的相抵标准型

任一 $m\times n$ 型矩阵 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ 必可化为阶梯型矩阵

2.初等矩阵

第一类初等矩阵 $P_{ij}$ ：表示将单位阵的ij行（列）进行互换后得到的矩阵
$\begin{pmatrix} 1& & & & & & \\ &\ddots& & & & & \\ & &0&\cdots& 1& &\\ & & \vdots& &\vdots& & \\ & &1&\cdots&0& &\\ & & & & & \ddots& \\ & & & & & &1 \\ \end{pmatrix}$

第二类初等矩阵 $P_i(c)$ ：表示将单位阵的第i行（列）乘以常数c倍后得到的矩阵
$\begin{pmatrix} 1& & & & \\ & \ddots& & & \\ & & c& & \\ & & & \ddots& \\ & & & & 1\\ \end{pmatrix}$

第三类初等矩阵 $T_{ij}(c)$ ：表示将单位阵的第i行（列）乘以c倍加到第j行（列）后得到的矩阵
$\begin{pmatrix} 1& & & & & & \\ &\ddots& & & & & \\ & &1&\cdots&0& &\\ & & \vdots& &\vdots& & \\ & &c&\cdots&1& &\\ & & & & & \ddots& \\ & & & & & &1 \\ \end{pmatrix}$

注：

对矩阵A做一次初等行变换相当于对A左乘一个初等矩阵
做一次初等列变换相当于对A右乘一个初等矩阵
初等变换不改变矩阵的奇异性

3.矩阵的逆

3.1 伴随可以表示矩阵的逆

设A为n阶方阵，则 $\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\\ \end{pmatrix}$ 称为A的伴随；

可验证 $AA^*=A^*A=|A|I_n$ ；若 $|A|\neq 0$ ，则 $A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$

3.2 可逆阵的结构

设A是一个n阶可逆阵，则仅用有限次初等行变换或初等列变换就可把它化为单位阵 $I_n$

证明：
只需说明Gauss消元法中主元可选到（即说明该列元素不全为0），证明技巧：归纳法

注：换个说法，这个命题说的是：可逆阵可表示为有限个初等矩阵之积；或者说：可逆阵相抵于单位阵，相抵于单位阵的方阵必可逆

4.特殊矩阵

4.1 循环矩阵

设n阶基础循环矩阵
$A=\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ 1&0&0&\cdots&0\\ \end{pmatrix}$
则
$A^k=\begin{pmatrix} O&I_{n-k}\\ I_k&O\\ \end{pmatrix},1\leq k\leq n$
证明：
记A为 $A=(e_n,e_1,\dots,e_{n-1}),Ae_i=e_{i-1}$ ，自然地可证明 $A^k$

4.2 幂零Jordan块

设n阶幂零Jordan块
$A=\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ 0&0&0&\cdots&0\\ \end{pmatrix}$
则
$A^k=\begin{pmatrix} O&I_{n-k}\\ O&O\\ \end{pmatrix} ,1\leq k\leq n$

4.3 友阵

设首一多项式 $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$ ，则 $f (x)$ 的友阵为
$C(f(x))=\begin{pmatrix} 0&0&\cdots&0&-a_n\\ 1&0&\cdots&0&-a_{n-1}\\ 0&1&\cdots&0&-a_{n-2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&-a_1\\ \end{pmatrix}$
其刻画为 $xI_n-C(f(x))|=f(x)$

注： $C (f (x))$ 的转置 $F (f (x))$ 称为 $f (x)$ 的Frobenius块

4.4 零矩阵的刻画

设A为n阶对称阵，则A是零矩阵当且仅当对任意n维列向量 $\alpha$ ，有 $\alpha'A\alpha=0$

4.5 反对称阵的刻画

设A是n阶方阵，则A是反对称阵当且仅当对任意n维列向量 $\alpha$ ，有 $\alpha'A\alpha=0$

4.6 循环矩阵

形如以下的矩阵称作循环矩阵
$\begin{pmatrix} a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ a_n&a_1&a_2&\cdots&a_{n-1}\\ a_{n-1}&a_n&a_1&\cdots&a_{n-2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_2&a_3&a_4&\cdots&a_1\\ \end{pmatrix}$
其重要的一个性质是循环矩阵之积仍为循环矩阵

证明：
设基础循环矩阵
$J=\begin{pmatrix} O&I_{n-1}\\ 1&O\\ \end{pmatrix}$
则
$A=a_1I_n+a_2J+a_3J^2+\cdots+a_nJ^{n-1}$
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