掷骰子(从暴力搜索到记忆化搜索到动态规划)-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了掷骰子(从暴力搜索到记忆化搜索到动态规划)。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

题目描述：

LeetCode上的 掷骰子模拟 题目描述通常如下：

题目：掷骰子模拟（Simulation of Dice Rolling）

原题链接

描述：

有一个骰子模拟器，每次投掷时都会生成一个1到6的随机数。不过，在使用这个模拟器时有一个约束条件：连续掷出数字i的次数不能超过rollMax[i]（其中i从1开始编号）。

给定一个整数数组rollMax和一个整数n，请计算投掷n次骰子可得到的不同点数序列的数量。两个序列如果至少存在一个元素不同，就认为这两个序列是不同的。由于答案可能很大，所以请返回模10^9 + 7之后的结果。

示例：

输入：
n = 2, rollMax = [1, 1, 2, 2, 2, 3]
输出：
34
解释：
我们掷2次骰子，如果没有约束的话，共有6 * 6 = 36种可能的组合。但是根据rollMax数组，数字1和2最多连续出现一次，所以不会出现序列(1,1)和(2,2)。因此，最终答案是36-2 = 34。

提示：

1 <= n <= 5000
rollMax.length == 6
1 <= rollMax[i] <= 15

请注意，由于答案可能非常大，所以在计算过程中需要对结果进行取模操作，以避免溢出。在这个问题中，我们通常使用模10^9 + 7来得到最终的结果。

题目思路：

1. 暴力搜索：递归解法(会超时)

想法：

先用最暴力的想法去思考这个问题：

首先，掷一个骰子(设值为x)会发生那些情况呢？

既然题目有 rollMax 的限制，那么分类讨论：

如果和上一个骰子值相同，那么 x 的连续出现次数不能超过 rollMax[x]；
如果不同，那么可以重置连续出现次数为 1。

使用递归的手段，模拟出每一个情况的状态，相当于暴力搜索每一种状态，然后再递归的过程中通过递归工作栈记录状态的参数(因为每次递归参数都会保留在递归工作栈空间)，我们这里记录的参数是三个。

为什么是三个呢？又是那三个？

看看前面的分类讨论，提取关键词：「上一个骰子值」和「连续出现次数」

所以递归记录的状态参数分别是：

剩余掷骰子的次数，用 id 表示（注意：为了方便后面转成递推，定义成剩余(即为从后往前递归枚举));
上一个骰子值，用 last 表示；
last的剩余连续出现次数，用 consistency 表示。

这样就确定了递归的参数：(int id,int last,int consistency)，而这个递归的参数也就表示了一种状态。

递归的返回值就是骰子序列个数。

而后就开始了递归中的操作，我们在每次递归时只需要枚举6中状态，也就是掷骰子的六种可能性，而对于每次投掷骰子，我们需要考虑两种可能的情况：

投掷的骰子值和上一次不同：如果我们想投掷一个与上一次不同的骰子值 i，我们需要确保 i 的连续投掷次数不会超过 rollMax[i]。因此，我们可以递归调用 dfs(id-1, i, rollMax[i]-1)，表示我们投掷了 n - id 次骰子，上一次的值是 last，并且还可以连续投掷 rollMax[i]-1 次相同的骰子 i。
投掷的骰子值和上一次相同：如果上一次投掷的值是 last，并且 consistency（表示连续相同骰子的次数）大于0，那么我们可以继续投掷相同的骰子，并减少 consistency 的计数。递归调用会是 dfs(id-1, i, consistency-1)，意味着我们投掷了 n - id 次骰子，上一次的值是 last，并且还可以连续投掷 consistency-1 次相同的骰子。

枚举 j=0,1,2,3,4,5 把递归后的结果相加，就是当前 dfs(id,last,consistency) 的答案。

递归到 id == 0 时结束，返回 1，表示找到了一个合法骰子序列。

最后，不要忘了在每一步计算中取模以避免整数溢出，特别是当 n 很大时。模数通常是 10^9 + 7，如题目所要求。

代码

$时间复杂度：O(6^n)$

class Solution {
public:
    typedef long long ll;
    int N = 5010,mod = 1e9 + 7;
    vector<int> dices;
    int dfs(int id,int last,int consistency) { 
        if (id == 0) return 1;

        ll res = 0;
        for (int i = 0;i < 6;i ++ ) {
            if (i != last) res = (res + dfs(id - 1,i,dices[i] - 1)) % mod;
            else {
                if (consistency) res = (res + dfs(id - 1,i,consistency - 1)) % mod;
                else continue;
            }
        }
        return res % mod;
    }
    int dieSimulator(int n, vector<int>& rollMax) {
        dices = rollMax;
        ll res = 0ll;
        for (int i = 0;i < 6;i ++ ) {
            res = (res + dfs(n - 1,i,dices[i] - 1)) % mod;
        }
        return (int)res;
    }
};

2. 优化：记忆化搜索：递归解法(不超时)

想法

举个例子，「先掷 1后掷 3」和「先掷 2 后掷 3」，都会递归到 dfs(n−2,3,rollMax[3]−1),也就是说无论你上一次摇到几，下一次递归的参数都是不变，也就是递归存储的状态是一致的。

一叶知秋，整个递归与回溯过程是有大量重复递归调用的。由于递归函数没有副作用，无论多少次调用 dfs(id,last,consistency) 算出来的结果都是一样的，因此可以用 记忆化搜索 来优化，利用一个三维数组存储用三个参数的递归状态：

如果一个状态（递归入参）是第一次遇到，那么可以在返回前，把状态及其结果记到一个 dp 数组（或者哈希表）中；

 int dp[5010][6][15];//存每次递归的返回值
 /*
        id:剩余掷骰子的次数, last：上一个骰子值, consistency：last的剩余连续出现次数
        (i)                               (j)                                (k)
        dp[i][j][k]表示 
 */

如果一个状态不是第一次遇到，那么直接返回 dp 中保存的结果。

以上正是记忆化搜索的解法，实际上记忆化搜索就是用数组/哈希表来记录递归的每个状态，递归过程中遇到重复状态则提前返回。

代码

$时间复杂度：O(6*\sum_{i=0}^{n} rollMax[i]),由于是递归执行,实际上还要大一些$

class Solution {
public:
    typedef long long ll;
    int N = 5010,mod = 1e9 + 7;
    vector<int> dices;
    int dp[5010][6][15];//存每次递归的返回值
    
    int dfs(int id,int last,int consistency) {
        if (id == 0) return 1;
        int *val = &dp[id][last][consistency];
        if (*val >= 0) return *val;

        ll res = 0;
        for (int i = 0;i < 6;i ++ ) {
            if (i != last) res = (res + dfs(id - 1,i,dices[i] - 1)) % mod;
            else {
                if (consistency) res = (res + dfs(id - 1,i,consistency - 1)) % mod;
                else continue;
            }
        }
        *val = res % mod;
        return res % mod;
    }
    int dieSimulator(int n, vector<int>& rollMax) {
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        dices = rollMax;
        ll res = 0ll;
        for (int i = 0;i < 6;i ++ ) {
            res = (res + dfs(n - 1,i,dices[i] - 1)) % mod;
        }
        return (int)res % mod;
    }
};

3. 二次优化：动态规划：递推解法(不超时)

想法

将上面的记忆化搜索的递归解法一比一翻译成递推的解法，就是动态规划

我们可以去掉递归中的「递」，只保留「归」的部分，即自底向上计算。

做法：

dfs 改成 dp 数组；
递归改成循环（每个参数都对应一层循环）;
递归边界改成 dp 数组的初始值。

就完事了。

代码

$时间复杂度：O(6*\sum_{i=0}^{n} rollMax[i]),由于是循环执行,实际上还要小一些$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-841564.html

class Solution {
public:
    typedef long long ll;
    int N = 5010,mod = 1e9 + 7;
    int dp[5010][6][15];//存每次递归的返回值
    /*
        id:剩余掷骰子的次数, last：上一个骰子值, consistency：last的剩余连续出现次数
        (i)                               (j)                                (k)
        dp[i][j][k]表示 
    */
    int dieSimulator(int n, vector<int>& rollMax) {
        for (int j = 0;j < 6;j ++ ) {
            for (int k = 0;k < rollMax[j];k ++ ) {
                dp[0][j][k] = 1;
            }
        }

        for (int i = 1;i < n;i ++ ) {
            for (int j = 0;j < 6;j ++ ) {
                for (int k = 0;k < rollMax[j];k ++ ) {
                    ll temp_ans = 0;
                    for (int that = 0;that < 6;that ++ ) {
                        if (that != j) temp_ans = (temp_ans + dp[i - 1][that][rollMax[that] - 1]) % mod;
                        else {
                            if (k) temp_ans = (temp_ans + dp[i - 1][that][k - 1]) % mod;
                            else continue;
                        }
                    }
                    dp[i][j][k] = temp_ans % mod;
                }
            }
        }

        ll res = 0;
        for (int j = 0;j < 6;j ++ ) {
            res = (res + dp[n - 1][j][rollMax[j] - 1]) % mod;
        }

        return (int)res % mod;
    }
};

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