动态规划DP之背包问题3---多重背包问题

目录

DP分析：

优化：

 二进制优化

例题：

        01背包是每个物品只有一个，完全背包问题是每个物品有无限个。

        那么多重背包问题就是 每个物品有有限个。

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

DP分析：

        和完全背包问题很像，暴力算法都是多加一层循环，循环物品的个数。O(n^3)

动态规划DP之背包问题2---完全背包问题-CSDN博客

         实现代码：

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=V;j++){
        f[i][j] = f[i-1][j];
        for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)
            f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);                    
    }
}

优化：

        不能采用完全背包的优化方式。动态规划DP之背包问题2---完全背包问题-CSDN博客 

        因为：

        多了一个 ，而max是不能减少一个获取到最大值的。

 二进制优化

        和快速幂的思路方法很像。快速幂（求解原理+例题）-CSDN博客

    假如：物品  的数量为 

• 暴力做法就是从  枚举到  。
• 使用二进制优化，我们只需要枚举  个数：，就可以组合出  中的任意一个整数。（相当于二进制表示转化为十进制） 

一般性下，如和求出 下需要的数是哪些：

   从  到  可以组合成  之间的任何一个数，加上  后可以组成 ，其中  。

   如何保证第一段  与  之间没有空隙，即  是否大于 。

        因为  的取值  保证了：

        如果 ，那么就会取  ，不是  了。

因此，我们将 ，然后针对分开后的所有物品使用01背包处理方式。时间复杂度降为。

优化代码：

        转换为01背包问题，将  拆后的所有数，分别作为一种物品的数量。

for(int i=1;i<=n;i++){
    str = in.readLine().split(" ");
    int vi = Integer.parseInt(str[0]); // 物品i的体积
    int wi = Integer.parseInt(str[1]); // 物品i的价值
    int si = Integer.parseInt(str[2]); // 物品i的数量
            
    // 直接将该物品数目拆分成多个，但是拆分完后的物品数目可以组合成si中的任何一个数目
    int k = 1; // 从1开始划分，每次乘23
    while(si>=k){ //满足c<2^(k+1) ，即是s大于k，才能划分k个物品出去
        v[cnt] = vi*k; // 个数*体积，作为新一个物品
        w[cnt] = wi*k;
        si -= k; // 减去划分的
        k *= 2; 
        cnt++;
    }
    if(si!=0){ // 最后剩下的物品，即c
        v[cnt] = si*vi;
        w[cnt] = si*wi;
        cnt++;
    }
}
n = cnt;

例题：

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000

提示：

本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-841662.html

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import java.io.*;
import java.util.*;
 
class Main{
    static int N = 20010;
    static int n,V;
    static int[] v = new int[N]; // 体积
    static int[] w = new int[N]; // 价值
    static int[] s = new int[N]; // 个数
    static int[] f = new int[N]; // 二维会超内存
    public static void main(String[] args) throws IOException{
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String[] str = in.readLine().split(" ");
        n = Integer.parseInt(str[0]);
        V = Integer.parseInt(str[1]);
        
        int cnt = 1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            str = in.readLine().split(" ");
            int vi = Integer.parseInt(str[0]);
            int wi = Integer.parseInt(str[1]);
            int si = Integer.parseInt(str[2]);
            
            // 直接将该物品数目拆分成多个，但是拆分完后的物品数目可以组合成si中的任何一个数目
            int k = 1;
            while(si>=k){ //满足c<2^(k+1) ，则是s大于k，才能划分k个物品出去
                v[cnt] = vi*k;
                w[cnt] = wi*k;
                si -= k;
                k *= 2;
                cnt++;
            }
            if(si!=0){ // 最后剩下的物品
                v[cnt] = si*vi;
                w[cnt] = si*wi;
                cnt++;
            }
        }
        n = cnt;
        
        // 转化为01背包问题
        for(int i=1;i<n;i++)
            for(int j=V;j>=v[i];j--)
                f[j] = Math.max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);                      

        System.out.println(f[V]); 
    }
}

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