线性代数（魏福义）——第一章：向量与线性空间-Toy模板网

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1.1向量及其线性运算

坐标系中可使用向量处理几何与运动学的问题，一般使用到二维或者三维有序数组，如（x，y）、（x，y，z），这样的数组称作向量，实际问题会用到更多维的向量。

1.1.1向量

以有序数组表示向量。n个数排成的有序数组就是n维向量。

α=（a1,a2,a3...，an）称为行向量；将其转置如下图形式即为列向量；转置后二者是不同的向量

按照(4,2,1)的规则重复向量v2,线性代数,线性代数,Powered by 金山文档

T为转置符号

ai就是向量α第i个分量，分量的个数叫做向量的维数

向量组：维数相同的一些向量构成的集合，称为向量组

向量的基本概念：

1.1.2 向量的线性运算

与（x，y）和（x，y，z）向量的线性运算类似，n维向量也有线性运算（加法、减法、数乘）的运算：

由此衍生的运算定律比较简单，略去。

所有n维向量构成的集合记为R^n，也称n维向量空间（一个空间里都是n维向量，且这些向量进行线性运算的结果仍在此空间中，则称此空间为n维向量空间）

1.2 向量的内积

R^3（3维向量空间）中有：

1.2.1 向量的内积

类似于R^3中向量的内积，R^n中内积公式如图：

由内积公式得到的性质：

1.2.2 向量的模

长度为1则为单位向量

性质：

1.2.3 向量的距离

1.2.4 向量的夹角

θ∈[0，Π]

1.3 向量的线性关系

1.3.1 线性组合与线性表出

设α₁,α₂,…,αₑ(e≥1)是域P上线性空间V中的有限个向量。若V中向量α可以表示为：α=k₁α₁+k₂α₂+…+kₑαₑ(kₑ∈P,e=1,2,…,s)；则称α是向量组α₁,α₂,…,αₑ的一个线性组合，亦称α可由向量组α₁,α₂,…,αₑ线性表示或线性表出。

例如：在三维线性空间P3中，向量α=(a₁,a₂,a₃)可由向量组α₁=(1,0,0)，α₂=(0,1,0)，α₁=(0,0,1)线性表出α=a₁α₁+a₂α₂+a₃α₃。

判断一个向量是否可用由一个向量组线性表出：

例：

方程有非零解即为可以线性表出

1.3.2 线性相关与线性无关

相关就是有关系，有人用某宝与拼西西，在某宝买东西多了那么在拼西西买东西就少了，但是买的东西总量不变，则ax+by=0，a与b都不为0时，x变化了，y也要变化。这就表明x和y是有关系的，能够互相影响的。这种关系画成图像是一条直线，则为线性相关。

1.4 向量的线性关系的判定（1）

定理1.4.1: 向量组 a1，a2，...，an 线性相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出。

定理1.4.2：

证明：

1.5 向量的线性关系的判定（2）

定理1.5.1

证明：

k1a1+k2a2=0, k1、k2不全为0，则a1，a2线性相关，而k1a1+k2a2+k3a3=0，k3可以是0，因为k1、k2、k3不全为0即可，a1，a2，a3就是线性相关的。

同理可以推出：

“部分相关，则整体相关整体无关，则部分无关”

可以证明：

（1）如果向量组只含一个0向量则存在常数1使得1*0=0,所以向量组线性相关，如果只含一个非零向量，则kα=0中k只能等于0，线性无关

（2）k1α1+k2α2=0，k1、k2不全为0，就是线性相关了，若α2为0向量，k1是0，k2可以是任意实数

（3）（1，2，3）^T和（2,4,6）^T线性相关，因为对应分量成比例，反之无关

定理1.5.2

原来就是线性无关，比如（1，2，3）与（2，5，0）易证是线性无关的，那么（1，2，3，4）和（2，5，0，8）肯定也是无关的，前三个数就不各成比例了，再加什么分量都没用

同理，原本是相关的，每个向量减少分量，也还是线性相关的

“短无关，则长无关，长相关，则短相关”

1.6 向量组的秩

极大线性无关向量组（极大无关组）：

什么意思呢？

例：

其中α1、α2、α3是不相关的（自己算），但是这三个加上α4或α5之中的任意一个就变成有关的了，也就是说向量组α1、α2、α3是最多向量元素的无关向量组了，所以称极大线性无关向量组。

极大无关组的元素个数就叫向量组α1、α2、α3、α4、α5的秩，记为rank（T），简记r（T）。

如果拿掉α3，只剩α1、α2，任意r+1个向量都线性相关的条件就不满足了，所以向量组的秩是唯一的，但极大无关组是不一定是唯一的。本例的α2、α3、α4就也是一个极大无关组。

向量组的线性表示

向量组的等价

引理 1.6.1

证明：

为什么s>t，齐次方程组必有非零解？

因为该方程组有s个未知数，k1到ks，而方程个数只有t个，s>t，那当然一定有非零解了。比如：方程组：x+y=0，两个未知数，一个方程，x和y都是自由变量，想怎么取怎么取，得到的是一个解集。而一个方程一个未知数，x+1=0，这样的话x就是确定只有一个解。

引理 1.6.2

两个等价的向量组的秩相等

等价就是两个向量组可以相互表示，能相互表示的原因是它们可以通过一系列基本行变换相互转化这些基本行变换都可以看作是对矩阵进行初等行变换所对应的行变换，它们不会改变矩阵的秩。

定理1.6.1

由条件可知：

vr+1 = k1v1 + k2v2 + ... + krvr

假设vr+1也是线性无关的，则它不能表示为v1, v2, ..., vr中任意向量的线性组合。但是，上面的式子说明了vr+1可以表示为v1, v2, ..., vr的线性组合，与假设矛盾。所以，vr+1不能是线性无关的，也就是说v1, v2, ..., vr+1中至少有一个向量可以由v1, v2, ..., vr线性表示出来。（也就是说线性无关组的向量个数最多就是r个了，那就是极大无关组了）

因此，我们可以继续添加向量，直到添加完所有的n个向量。此时，我们得到了一个包含所有n个向量的线性组合。因为v1, v2, ..., vn中的每个向量都可以由v1, v2, ..., vr表示出来，所以整个向量组T都可以由v1, v2, ..., vr表示出来。

同时，因为v1, v2, ..., vr线性无关，所以它们不能由v1, v2, ..., vn中其他向量线性表示，也就是说，它们是T的极大无关组。

1.7 线性空间

1.7.1 数域

在数学中，数域是指一个集合，其中包含了一些数，并且定义了加法、减法、乘法、除法等基本运算，同时这些运算满足一些基本的性质，例如结合律、交换律、分配律等等。

数域里面的任意两个数的和差积商仍是该数域里的数

数域是集合，集合是数域吗？

1.7.2 线性空间

线性空间（或称向量空间）是一个非空集合 V，其中的元素被称为向量，同时满足以下条件：
对于 V 中任意两个向量 u、v，它们的和 u+v 仍然属于 V。（封闭性）
对于 V 中任意一个向量 u 和任意一个标量 a，它们的乘积 au 仍然属于 V。（封闭性）
V 中存在一个零向量 0，使得对于 V 中任意一个向量 u，都有 u+0=u。
对于 V 中任意一个向量 u，存在一个相反向量 -u，使得 u+(-u)=0。
向量加法满足结合律、交换律和存在单位元素，即对于 V 中任意三个向量 u、v、w，有：
结合律：(u+v)+w = u+(v+w)
交换律：u+v = v+u
存在单位元素：对于 V 中任意一个向量 u，存在一个零向量 0，使得 u+0=u。
标量乘法满足结合律和分配律，即对于 V 中任意一个向量 u，任意两个标量 a、b，有：
结合律：a(bu) = (ab)u
分配律：a(u+v) = au+av，(a+b)u = au+bu。
满足以上条件的集合被称为线性空间或向量空间，其中的元素被称为向量，标量乘法中的标量可以是实数或复数。