0105行列式按行(列)展开-行列式-线性代数

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在n阶行列式中,把 ( i , j ) 元 a i j (i,j)元a_{ij} (i,j)aij所在的第 i 行和第 j i行和第j i行和第j列划去后,留下来的 n − 1 n-1 n1阶行列式叫做 ( i , j ) 元 a i j (i,j)元a_{ij} (i,j)aij的余子式,记作 M i j M_{ij} Mij;记 A i j = ( − 1 ) i + j M i j , A i j 叫做 ( i , j ) 元 a i j A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},A_{ij}叫做(i,j)元a_{ij} Aij=(1)i+jMij,Aij叫做(i,j)aij的代数余子式。

引理 一个n阶行列式,如果其中第 i i i行所有元素除 ( i , j ) 元 a i j (i,j)元a_{ij} (i,j)aij外都是零,那么这行列式等于 a i j a_{ij} aij与它的代数余子式的乘积,即

D = a i j A i j D=a_{ij}A_{ij} D=aijAij

证明: 先证明 ( i , j ) = ( 1 , 1 ) 的情形,此时 D = ∣ a 11 0 ⋯ 0 a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ 这是上一节例 10 , k = 1 的情形,按例 10 的结论,有 D = a 11 M 11 又 A 11 = ( − 1 ) 1 + 1 M 11 = M 11 ∴ D = a 11 A 11 = a 11 M 11 在证一般情形,此时 ∣ a 11 ⋯ a 1 j ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ a i j ⋯ a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n j ⋯ a n n ∣ 把第 i 行依次与第 i − 1 , i − 2 , ⋯   , 1 行做交换;然后把第 j 列依次与第 j − 1 , j − 2 , ⋯ 列做交换 这样数 a i j 换成 ( 1 , 1 ) 元,经过的交换次数为 i + j − 2 ,所得行列式 D 1 有 D 1 = ( − 1 ) i + j − 2 D = ( − 1 ) i + j D D 1 中 ( 1 , 1 ) 的余子式就是 D 中 ( i , j ) 元的余子式 M i j D = ( − 1 ) i + j D 1 = ( − 1 ) i + j a i j M i j = a i j A i j 证明:\\ 先证明(i,j)=(1,1)的情形,此时\\ D=\begin{vmatrix} a_{11}&0&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ 这是上一节例10,k=1的情形,按例10的结论,有\\ D=a_{11}M_{11}\\ 又A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11}\\ \therefore D=a_{11}A_{11}=a_{11}M_{11}\\ 在证一般情形,此时\\ \begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a{nn}\\ \end{vmatrix}\\ 把第i行依次与第i-1,i-2,\cdots,1行做交换;然后把第j列依次与第j-1,j-2,\cdots列做交换\\ 这样数a_{ij}换成(1,1)元,经过的交换次数为i+j-2,所得行列式D_1\\ 有D_1=(-1)^{i+j-2}D=(-1)^{i+j}D\\ D_1中(1,1)的余子式就是D中(i,j)元的余子式M_{ij}\\ D=(-1)^{i+j}D_1=(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}=a_{ij}A_{ij} 证明:先证明(i,j)=(1,1)的情形,此时D= a11a21an10a22an20a2nann 这是上一节例10k=1的情形,按例10的结论,有D=a11M11A11=(1)1+1M11=M11D=a11A11=a11M11在证一般情形,此时 a110an1a1jaijanja1nainann 把第i行依次与第i1,i2,,1行做交换;然后把第j列依次与第j1j2列做交换这样数aij换成(1,1)元,经过的交换次数为i+j2,所得行列式D1D1=(1)i+j2D=(1)i+jDD1(1,1)的余子式就是D(i,j)元的余子式MijD=(1)i+jD1=(1)i+jaijMij=aijAij

定理2 行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即

D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋯ + a i n A i n ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}(i=1,2, \cdots,n) D=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin(i=1,2,,n)​或者

D = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ⋯ + a n j A n j ( j = 1 , 2 , ⋯   , n ) D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}(j=1,2, \cdots,n) D=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj(j=1,2,,n)

证明: D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 + 0 + ⋯ + 0 0 + a i 2 + ⋯ + 0 ⋯ 0 + ⋯ + 0 + a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ + ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 a i 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ + ⋯ + ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ 根据引理,有 D = a i 1 A i j + a i 2 A i 2 + ⋯ + a i n A i n ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) 类似地,若按列证明,可得 D = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ⋯ + a n j A n j ( j = 1 , 2 , ⋯   , n ) 证明:\\ D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}+0+\cdots+0&0+a_{i2}+\cdots+0&\cdots&0+\cdots+0+a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&a_{i2}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}+\cdots+ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ 根据引理,有 D=a_{i1}A_{ij}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}(i=1,2,\cdots,n)\\ 类似地,若按列证明,可得\\ D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}(j=1,2,\cdots,n) 证明:D= a11ai1+0++0an1a120+ai2++0an2a1n0++0+ainann = a11ai1an1a120an2a1n0ann + a110an1a12ai2an2a1n0ann ++ a110an1a120an2a1nainann 根据引理,有D=ai1Aij+ai2Ai2++ainAin(i=1,2,,n)类似地,若按列证明,可得D=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj(j=1,2,,n)

例7 计算 D = ∣ 3 1 − 1 2 − 5 1 3 − 4 2 0 1 − 1 1 − 5 3 − 3 ∣ D=\begin{vmatrix} 3&1&-1&2\\ -5&1&3&-4\\ 2&0&1&-1\\ 1&-5&3&-3\\ \end{vmatrix} D= 3521110513132413
解: D = c 1 − 2 c 3 , c 4 + c 3 ∣ 5 1 − 1 1 − 11 1 3 − 1 0 0 1 0 − 5 − 5 3 0 ∣ = ( − 1 ) 3 + 3 ∣ 5 1 1 − 11 1 − 1 − 5 − 5 0 ∣ = r 2 + r 1 ∣ 5 1 1 − 6 2 0 − 5 − 5 0 ∣ = ( − 1 ) 1 + 3 ∣ − 6 2 − 5 − 5 ∣ = 30 + 10 = 40 解:\\ D\overset{c_1-2c_3,c_4+c_3}{=}\begin{vmatrix} 5&1&-1&1\\ -11&1&3&-1\\ 0&0&1&0\\ -5&-5&3&0\\ \end{vmatrix}\\ =(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 5&1&1\\ -11&1&-1\\ -5&-5&0\\ \end{vmatrix}\\ \overset{r_2+r_1}{=}\begin{vmatrix} 5&1&1\\ -6&2&0\\ -5&-5&0\\ \end{vmatrix}\\ =(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} -6&2\\ -5&-5\\ \end{vmatrix}\\ =30+10=40 解:D=c12c3,c4+c3 51105110513131100 =(1)3+3 5115115110 =r2+r1 565125100 =(1)1+3 6525 =30+10=40

例12 证明范德蒙德行列式

D n = ∣ 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ n ≥ i > j ≥ 1 ( x i − x j ) D_n=\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\\ \end{vmatrix}=\prod_{n\ge i\gt j\ge1}(x_i-x_j) Dn= 1x1x12x1n11x2x22x2n11xnxn2xnn1 =ni>j1(xixj)
证明: 用数学归纳法 ∵ D 2 = ∣ 1 1 x 1 x 2 ∣ = x 2 − x 1 = ∏ 2 ≥ i > j ≥ 1 ( x i − x j ) ∴ 当 n = 2 时,等式成立 现在假设当等式与 n − 1 阶范德蒙德行列式成立,要证等式对于 n 阶范德蒙德行列式成立。 把 D n 降阶:从第 n 行开始,后行减去前行的 x 1 倍,有 D n = ∣ 1 1 1 ⋯ 1 0 x 2 − x 1 x 3 − x 1 ⋯ x n − x 1 0 x 2 ( x 2 − x 1 ) x 3 ( x 3 − x 1 ) ⋯ x n ( x n − x 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 x 2 n − 2 ( x 2 − x 1 ) x 3 n − 2 ( x 3 − x 1 ) ⋯ x n n − 2 ( x n − x 1 ) ∣ 按第一列展开,并把每列的公因子 ( x i − x j ) 提出,有 D n = ( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) ⋯ ( x n − x 1 ) ∣ 1 1 ⋯ 1 x 2 x 3 ⋯ x n x 2 2 x 3 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋮ x 2 n − 2 x 3 n − 2 ⋯ x n n − 2 ∣ 上式右端的行列式是 n − 1 阶范德蒙德行列式,按归纳法假设,它等于所有 ( x i − x j ) 因子的乘积,其中 n ≥ i > j ≥ 2 故 D n = ( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) ⋯ ( x n − x 1 ) ∏ n ≥ i > j ≥ 2 ( x i − x j ) = ∏ n ≥ i > j ≥ 1 ( x i − x j ) 证明:\\ 用数学归纳法\\ \because D_2=\begin{vmatrix} 1&1\\ x_1&x_2\\ \end{vmatrix} =x_2-x_1=\prod_{2\ge i\gt j\ge1}(x_i-x_j)\\ \therefore 当n=2时,等式成立\\ 现在假设当等式与n-1阶范德蒙德行列式成立,要证等式对于n阶范德蒙德行列式成立。\\ 把D_n降阶:从第n行开始,后行减去前行的x_1倍,有\\ D_n=\begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 0&x_2-x_1&x_3-x_1&\cdots&x_n-x_1\\ 0&x_2(x_2-x_1)&x_3(x_3-x_1)&\cdots&x_n(x_n-x_1)\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&x_2^{n-2}(x_2-x_1)&x_3^{n-2}(x_3-x_1)&\cdots&x_n^{n-2}(x_n-x_1)\\ \end{vmatrix}\\ 按第一列展开,并把每列的公因子(x_i-x_j)提出,有\\ D_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)\begin{vmatrix} 1&1&\cdots&1\\ x_2&x_3&\cdots&x_n\\ x_2^2&x_3^2&\cdots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_2^{n-2}&x_3^{n-2}&\cdots&x_n^{n-2}\\ \end{vmatrix}\\ 上式右端的行列式是n-1阶范德蒙德行列式,按归纳法假设,它等于所有(x_i-x_j)因子的乘积,其中n\ge i\gt j\ge2\\ 故 D_n=(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_n-x_1)\prod_{n\ge i\gt j\ge2}(x_i-x_j)\\ =\prod_{n\ge i\gt j\ge 1}(x_i-x_j) 证明:用数学归纳法D2= 1x11x2 =x2x1=2i>j1(xixj)n=2时,等式成立现在假设当等式与n1阶范德蒙德行列式成立,要证等式对于n阶范德蒙德行列式成立。Dn降阶:从第n行开始,后行减去前行的x1倍,有Dn= 10001x2x1x2(x2x1)x2n2(x2x1)1x3x1x3(x3x1)x3n2(x3x1)1xnx1xn(xnx1)xnn2(xnx1) 按第一列展开,并把每列的公因子(xixj)提出,有Dn=(x2x1)(x3x1)(xnx1) 1x2x22x2n21x3x32x3n21xnxn2xnn2 上式右端的行列式是n1阶范德蒙德行列式,按归纳法假设,它等于所有(xixj)因子的乘积,其中ni>j2Dn=(x2x1)(x3x1)(xnx1)ni>j2(xixj)=ni>j1(xixj)

推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + ⋯ + a i n A j n = 0 , i ≠ j a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0,i\not=j ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn=0,i=j

a 1 i A 1 j + a 2 i A 2 j + ⋯ + a n i A n j = 0 , i ≠ j a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0,i\not=j a1iA1j+a2iA2j++aniAnj=0,i=j

证明: 设有 n 阶行列式 D = d e t ( a i j ) ,按第 j 行展开式为 D = a j 1 A j 1 + a j 2 A j 2 + ⋯ + a j n A j n 因诸 A j k ( k = 1 , 2 , ⋯ n ) 都是先划去了 D 中第 j 行在经计算而得 所以当第 j 行元素依次取 b 1 , b 2 , ⋯   , b n 时,就有 D j = ∣ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ a j − 1 , 1 ⋯ a j − 1 , n b 1 ⋯ b n a j + 1 , 1 ⋯ a j + 1 , n ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ∣ 这里 D j 表示除第 j 行外其余行均与 D 相同的行列式。特别当 b 1 , b 2 , ⋯   , b n 依次取 D = d e t ( a i j ) 的第 i 行 ( i ≠ j ) 时 上式扔成立,此时 D j 中第 i 行与第 j 行相同,故 D j = 0 ∴ a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + ⋯ + a i n A j n = 0 ( i ≠ j ) 类似地,对于列也成立。 证明:\\ 设有n阶行列式D=det(a_{ij}),按第j行展开式为\\ D=a_{j1}A_{j1}+a_{j2}A_{j2}+\cdots+a_{jn}A_{jn}\\ 因诸A_{jk}(k=1,2,\cdots n)都是先划去了D中第j行在经计算而得\\ 所以当第j行元素依次取b_1,b_2,\cdots,b_n时,就有\\ D_j=\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{j-1,1}&\cdots&a_{j-1,n}\\ b_1&\cdots&b_n\\ a_{j+1,1}&\cdots&a_{j+1,n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ 这里D_j表示除第j行外其余行均与D相同的行列式。 特别当b_1,b_2,\cdots,b_n依次取D=det(a_{ij})的第i行(i\not=j)时\\ 上式扔成立,此时D_j中第i行与第j行相同,故D_j=0\\ \therefore a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0(i\not=j) 类似地,对于列也成立。 证明:设有n阶行列式D=det(aij),按第j行展开式为D=aj1Aj1+aj2Aj2++ajnAjn因诸Ajk(k=1,2,n)都是先划去了D中第j行在经计算而得所以当第j行元素依次取b1,b2,,bn时,就有Dj= a11aj1,1b1aj+1,1an1a1naj1,nbnaj+1,nann 这里Dj表示除第j行外其余行均与D相同的行列式。特别当b1,b2,,bn依次取D=det(aij)的第i(i=j)上式扔成立,此时Dj中第i行与第j行相同,故Dj=0ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn=0(i=j)类似地,对于列也成立。

综合定理2及其推论,有关于代数余子式的重要性质:
∑ k = 1 n a k i A k j = { D , 当 i = j 0 , 当 i ≠ j 或 ∑ k = 1 n a i k A j k = { D , 当 i = j 0 , 当 i ≠ j \sum_{k=1}^n{a_{ki}A_{kj}}= \begin{cases} D,&当i=j\\ 0,&当i\ne j \end{cases}\\ 或\sum_{k=1}^n{a_{ik}A_{jk}}= \begin{cases} D,&当i=j\\ 0,&当i\ne j \end{cases} k=1nakiAkj={D,0,i=ji=jk=1naikAjk={D,0,i=ji=j

例13 设

D = ∣ 3 − 5 2 1 1 1 0 − 5 − 1 3 1 3 2 − 4 − 1 − 3 ∣ D=\begin{vmatrix}3&-5&2&1\\1&1&0&-5\\-1&3&1&3\\2&-4&-1&-3\end{vmatrix}\\ D= 3112513420111533

D 的元 ( i , j ) D的元(i,j) D的元(i,j)的余子式和代数余子式依次记作 M i j 和 A i j M_{ij}和A_{ij} MijAij

A 11 + A 12 + A 13 + A 14 及 M 11 + M 21 + M 31 + M 41 A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}及M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41} A11+A12+A13+A14M11+M21+M31+M41
解: A 11 + A 12 + A 13 + A 14 = 1 ⋅ A 11 + 1 ⋅ A 12 + 1 ⋅ A 13 + 1 ⋅ A 14 = ∣ 1 1 1 1 1 1 0 − 5 − 1 3 1 3 2 − 4 − 1 − 3 ∣ = r 3 − r 1 , r 4 + r 1 ∣ 1 1 1 1 1 1 0 − 5 − 2 2 0 2 3 − 3 0 − 2 ∣ = ∣ 1 1 − 5 − 2 2 2 3 − 3 − 2 ∣ = c 1 + c 2 ∣ 2 1 − 5 0 2 2 0 − 3 − 2 ∣ = 4 M 11 + M 21 + M 31 + M 41 = A 11 − A 21 + A 31 − A 41 = ∣ 1 − 5 2 1 − 1 1 0 − 5 1 3 1 3 − 1 − 4 − 1 − 3 ∣ = r 4 + r 3 ∣ 1 − 5 2 1 − 1 1 0 − 5 1 3 1 3 0 − 1 0 0 ∣ = − ∣ 1 2 1 − 1 0 − 5 1 1 3 ∣ = r 1 − 2 r 3 − ∣ − 1 0 − 5 − 1 0 − 5 1 1 3 ∣ = 0 解:\\ A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=1\cdot A_{11}+1\cdot A_{12}+1\cdot A_{13}+1\cdot A_{14}\\ =\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&1&0&-5\\-1&3&1&3\\2&-4&-1&-3\end{vmatrix}\\ \overset{r3-r1,r_4+r1}{=}\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&1&0&-5\\-2&2&0&2\\3&-3&0&-2\end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix}1&1&-5\\-2&2&2\\3&-3&-2\end{vmatrix}\\ \overset{c_1+c_2}{=}\begin{vmatrix}2&1&-5\\0&2&2\\0&-3&-2\end{vmatrix}=4\\ M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}=A_{11}-A_{21}+A_{31}-A_{41}=\\ \begin{vmatrix}1&-5&2&1\\-1&1&0&-5\\1&3&1&3\\-1&-4&-1&-3\end{vmatrix}\\ \overset{r_4+r_3}{=}\begin{vmatrix}1&-5&2&1\\-1&1&0&-5\\1&3&1&3\\0&-1&0&0\end{vmatrix}\\ =-\begin{vmatrix}1&2&1\\-1&0&-5\\1&1&3\end{vmatrix}\\ \overset{r_1-2r_3}{=}-\begin{vmatrix}-1&0&-5\\-1&0&-5\\1&1&3\end{vmatrix}\\ =0 解:A11+A12+A13+A14=1A11+1A12+1A13+1A14= 1112113410111533 =r3r1,r4+r1 1123112310001522 = 123123522 =c1+c2 200123522 =4M11+M21+M31+M41=A11A21+A31A41= 1111513420111533 =r4+r3 1110513120101530 = 111201153 =r12r3 111001553 =0

结语

❓QQ:806797785

⭐️文档笔记地址:https://gitee.com/gaogzhen/math

参考:

[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p15-20.

[2]同济六版《线性代数》全程教学视频[CP/OL].2020-02-07.p5.文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-842005.html

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    2023年04月09日
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  • 线性代数——行列式

    一、行列式的性质 性质1 行列互换,其值不变,即 |A|=|A^{T}| 性质2 若行列式中某行(列)元素全为 0, 则行列式为 0 性质3 若行列式中某行(列)元素有公因子 k(kneq0) ,则 k 可提到行列式外面( 倍乘性质 ) $$ begin{vmatrix}a_{11}a_{12}cdotsa_{1n}\\\\vdotsvdotsvdots\\\\ka_{i1}ka_{i2}cdotska_{in}\\\\

    2024年04月26日
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  • 线性代数复习:行列式

    求行列式就是求这个行列式的值 二,三阶行列式:可以用:对角线法则和沙路法做 对角线法则: 主对角线和的值减去 副对角线积的和值。 a b c d : 值就是ad-bc 注意:n阶:n行n列. 1.下三角法则(主对角线以上都为0): 把行列式化为下三角行列式值等于主对角线的元素的值的

    2024年02月07日
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  • 线性代数 第一章 行列式

    一、概念 不同行不同列元素乘积的代数和(共n!项) 二、性质 经转置行列式的值不变,即 ; 某行有公因数k,可把k提到行列式外。特别地,某行元素全为0,则行列式的值为0; 两行互换行列式变号,特别地,两行相等行列式值为0,两行成比例行列式值为0; 某行所有元素都

    2024年02月06日
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  • 线性代数——行列式相关性质

    目录 一、行列式与它的转置列行列式相等 二、对换行列式的两行(列),行列式变号  三、行列式某行(列)有公因子k,则k可以提到行列式外 四、行列式中若两行成比例,则行列式为0 五、行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则  六、将行列式的某行(列)元素乘

    2024年01月19日
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  • 【线性代数】P4 行列式相乘+范德蒙德行列式+克莱姆法则 cramer

    行列式相乘的原则,就是将第一个行列式中依次将每行的每个元素分别与第二个行列式每列的每个元素进行相加再相乘。 其实这样理解:已知两个行列式,如上,相乘有新行列式,新行列式左上角第一个值为: a 11 *b 11 +a 12 *b 21 +a 13 *b 31 实例2: 当然,三阶行列式无法与四阶

    2024年02月02日
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  • 线性代数行列式的几何含义

    行列式可以看做是一系列列向量的排列,并且每个列向量的分量可以理解为其对应标准正交基下的坐标。 行列式有非常直观的几何意义,例如: 二维行列式按列向量排列依次是 a mathbf{a} a 和 b mathbf{b} b ,可以表示 a mathbf{a} a 和 b mathbf{b} b 构成的平行四边形的面积 ∣ a b ∣

    2024年02月11日
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  • 线性代数的本质(四)——行列式

    行列式引自对线性方程组的求解。考虑两个方程的二元线性方程组 { a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 end{cases} { a 11 ​ x 1 ​ + a 12 ​ x 2 ​ = b 1 ​ a 21 ​ x 1 ​ + a 22 ​ x 2 ​ = b 2 ​ ​ 可使用消元法,得 ( a 11 a 22 − a

    2024年02月07日
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  • 【线性代数】一、行列式和矩阵

    ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB|=|A||B| ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ 行列互换其值不变, ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T|=|A| ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 ( 由 A A ∗ = ∣ A ∣ E 推 导 而 来 ) |A^*|=|A|^{n-1}(由AA^*=|A|E推导而来) ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 ( 由 A A ∗ = ∣ A ∣ E 推 导 而

    2024年02月05日
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  • 【线性代数】P1 行列式基本概念

    二阶行列式 二阶行列式:两行两列,四个元素,用 a i j a_{ij} a ij ​ 表示,其中 i i i 表示行标, j j j 表示列标。 左上角到右下角为主对角线,左下角到右上角为次对角线; 行列式的值为主对角线上的值相乘减去次对角线相乘的值。 三阶行列式 三阶行列式:三行三列,九个

    2023年04月24日
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