文章目录
前言
一、定义与定理
1、定义
1.1、n维向量
1.2、线性组合
1.3、线性表示（出）
1.4、线性相关
1.5、线性无关
2、判别线性相关的七大定理
2.1、定理一：
2.2、定理二：
2.3、定理三：
2.4、定理四：
2.5、定理五：
2.6、定理六：
2.7、定理七：
二、具体型向量关系
1.与
1.1、建方程组
1.2、化阶梯型：
1.3、讨论：
2、
2.1、向量个数大于维数：必相关
2.2、向量个数等于维数：
2.3、向量个数小于维数：
三、抽象型向量关系
1、定义法：
2、用秩：（见线性代数之矩阵的秩）
四、向量组等价
前言
向量组与方程组大致相同，只是将方程组的具体数值等式转化成更加抽象的向量表示。
一、定义与定理
1、定义
1.1、n维向量
示例：
1.2、线性组合
示例：
1.3、线性表示（出）
示例：
1.4、线性相关
即：存在一组不全为零的数,使得
1.5、线性无关
即：仅当时，成立
2、判别线性相关的七大定理
2.1、定理一：
向量组线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余n-1个向量线性表出；
2.2、定理二：
若向量组线性无关，而线性相关，则可由线性表示且表示法唯一；
2.3、定理三：
如果向量组可由向量组线性表示，且，则线性相关【以少表多，多的相关】
2.4、定理四：
向量组线性相关的充分必要条件是齐次方程组有非零解；
2.5、定理五：
向量可由向量组线性表出非齐次线性方程组有解【不能线性表出无解】
2.6、定理六：
如果向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关【部分相关->整体相关】
2.7、定理七：
如果一组n维向量线性相关，那么把这些对应相同位置各任意添加m个分量所得到的新向量（n+m维）组也是线性无关的；如果线性相关，那么它们各去掉相同位置的若干个分量所得到的新向量组也是线性相关的。
二、具体型向量关系
1.与
1.1、建方程组
1.2、化阶梯型：
【初等变换化为行阶梯型】
1.3、讨论：
无解不能表示
唯一解唯一表示法
无穷多解无穷多表示法
2、
2.1、向量个数大于维数：必相关
2.2、向量个数等于维数：
线性相关
线性无关
2.3、向量个数小于维数：
线性相关
线性无关
三、抽象型向量关系
1、定义法：
写定义式：证明；文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-843514.html
2、用秩：（见线性代数之矩阵的秩）
四、向量组等价
向量组（Ⅰ）：；向量组（Ⅱ）：，其等价的充要条件是【r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ|Ⅱ)】文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-843514.html
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