巴特沃斯滤波器是一种常用于图像处理的滤波器，它在频域中的传递函数具有更加平滑的过渡，相对于理想滤波器来说，巴特沃斯滤波器可以更好地控制截止频率和滤波器的阶数。下面是巴特沃斯滤波器的不同类型的原理简介：
1.原理
（1）巴特沃斯低通滤波（Butterworth Lowpass Filtering）
巴特沃斯低通滤波器通过在频域中滤除高频成分来实现图像的平滑。其传递函数为：
其中D(u,v) 是频域中点 (u,v) 到中心的距离，D0 是截止频率，n 是滤波器的阶数。
（2）巴特沃斯高通滤波（Butterworth Highpass Filtering）
巴特沃斯高通滤波器通过滤除低频成分来增强图像中的细节和边缘。其传递函数为：
其中D(u,v) 是频域中点 (u,v) 到中心的距离，D0 是截止频率，n 是滤波器的阶数。
（3）巴特沃斯带通滤波（Butterworth Bandpass Filtering）
巴特沃斯带通滤波器保留图像中一定频率范围内的成分，同时滤除低频和高频成分。其传递函数为：
其中D(u,v) 是频域中点(u,v) 到中心的距离，D0 和 D1 是两个截止频率，n 是滤波器的阶数。
（4）巴特沃斯带阻滤波（Butterworth Bandstop Filtering）
巴特沃斯带阻滤波器与带通滤波器相反，它滤除一定频率范围内的成分，同时保留低频和高频成分。其传递函数为：
其中D(u,v) 和 D0、D1 同上，n 是滤波器的阶数。
2.实现代码
（1）巴特沃斯低通滤波（Butterworth Lowpass Filtering）
clear
clc
I = imread('1.jpg'); % 读入图像
I = rgb2gray(I);
I=im2double(I);
M=2*size(I,1); %滤波器的行数
N=2*size(I,2); %滤波器的列数
u=-M/2:(M/2-1);
v=-N/2:(N/2-1);
[U,V]=meshgrid(u, v);
D=sqrt(U.^2+V.^2);
D0=50; %截止频率
n=6; %滤波器的阶数
H=1./(1+(D./D0).^(2*n)); %设计巴特沃斯滤波器
J=fftshift(fft2(I, size(H, 1), size(H, 2))); %空域转换到频域
K=J.*H; %滤波处理
L=ifft2(ifftshift(K)); %傅里叶反变换
L=L(1:size(I,1), 1:size(I, 2)); %改变图像大小
% 显示原始图像和滤波后的图像
figure;
% 显示原始图像
subplot(221);
imshow(I);
title('原始图像');
% 显示滤波后的图像
subplot(222);
imshow(L);
title('滤波后的图像');
% 显示原始图像的频域
subplot(223);
imagesc(log(1 + abs(J)));
title('原始图像的频域');
% 显示滤波后图像的频域
subplot(224);
imagesc(log(1 + abs(K)));
title('滤波后图像的频域');
（2）巴特沃斯高通滤波（Butterworth Highpass Filtering）
clear
clc
I = imread('1.jpg'); % 读入图像
I = rgb2gray(I);
I=im2double(I);
M=2*size(I,1); %滤波器的行数
N=2*size(I,2); %滤波器的列数
u=-M/2:(M/2-1);
v=-N/2:(N/2-1);
[U,V]=meshgrid(u, v);
D=sqrt(U.^2+V.^2);
D0=50; %截止频率
n=6; %滤波器的阶数
H=1./(1+(D0./D).^(2*n)); %设计巴特沃斯滤波器
J=fftshift(fft2(I, size(H, 1), size(H, 2))); %空域转换到频域
K=J.*H; %滤波处理
L=ifft2(ifftshift(K)); %傅里叶反变换
L=L(1:size(I,1), 1:size(I, 2)); %改变图像大小
% 显示原始图像和滤波后的图像
figure;
% 显示原始图像
subplot(221);
imshow(I);
title('原始图像');
% 显示滤波后的图像
subplot(222);
imshow(L);
title('滤波后的图像');
% 显示原始图像的频域
subplot(223);
imagesc(log(1 + abs(J)));
title('原始图像的频域');
% 显示滤波后图像的频域
subplot(224);
imagesc(log(1 + abs(K)));
title('滤波后图像的频域');
（3）巴特沃斯带通滤波（Butterworth Bandpass Filtering）
clear
clc
I = imread('1.jpg'); % 读入图像
I = rgb2gray(I);
I=im2double(I);
M=2*size(I,1); %滤波器的行数
N=2*size(I,2); %滤波器的列数
u=-M/2:(M/2-1);
v=-N/2:(N/2-1);
[U,V]=meshgrid(u, v);
D=sqrt(U.^2+V.^2);
D0=50; %截止频率
D1=60;
n=6; %滤波器的阶数
H=1./(1+(D.*(D1-D0)./(D.^2-D0*D1)).^(2*n)); %设计巴特沃斯滤波器
J=fftshift(fft2(I, size(H, 1), size(H, 2))); %空域转换到频域
K=J.*H; %滤波处理
L=ifft2(ifftshift(K)); %傅里叶反变换
L=L(1:size(I,1), 1:size(I, 2)); %改变图像大小
% 显示原始图像和滤波后的图像
figure;
% 显示原始图像
subplot(221);
imshow(I);
title('原始图像');
% 显示滤波后的图像
subplot(222);
imshow(L);
title('滤波后的图像');
% 显示原始图像的频域
subplot(223);
imagesc(log(1 + abs(J)));
title('原始图像的频域');
% 显示滤波后图像的频域
subplot(224);
imagesc(log(1 + abs(K)));
title('滤波后图像的频域');
（4）巴特沃斯带阻滤波（Butterworth Bandstop Filtering）
clear
clc
I = imread('1.jpg'); % 读入图像
I = rgb2gray(I);
I=im2double(I);
M=2*size(I,1); %滤波器的行数
N=2*size(I,2); %滤波器的列数
u=-M/2:(M/2-1);
v=-N/2:(N/2-1);
[U,V]=meshgrid(u, v);
D=sqrt(U.^2+V.^2);
D0=50; %截止频率
D1=60;
n=6; %滤波器的阶数
H=1./(1+(D0*D1./(D.^2-D0*D1)).^(2*n)); %设计巴特沃斯滤波器
J=fftshift(fft2(I, size(H, 1), size(H, 2))); %空域转换到频域
K=J.*H; %滤波处理
L=ifft2(ifftshift(K)); %傅里叶反变换
L=L(1:size(I,1), 1:size(I, 2)); %改变图像大小
% 显示原始图像和滤波后的图像
figure;
% 显示原始图像
subplot(221);
imshow(I);
title('原始图像');
% 显示滤波后的图像
subplot(222);
imshow(L);
title('滤波后的图像');
% 显示原始图像的频域
subplot(223);
imagesc(log(1 + abs(J)));
title('原始图像的频域');
% 显示滤波后图像的频域
subplot(224);
imagesc(log(1 + abs(K)));
title('滤波后图像的频域');
在这些公式中，阶数 n 的选择会影响滤波器的频率响应曲线的陡峭程度。较大的 n 会导致更陡峭的过渡，但也可能引入一些振铃效应。
最后：
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