一、总体说明
最近在备战蓝桥杯，感觉蓝桥杯很多题目都可以尝试用暴力搜索，暴力枚举的方法尝试得出最终的结果，但是暴力的方式效率并不是很高，而且容易超时。在以前学回溯算法的时候，也是一脸懵，不理解IndexStart到底什么意思，不知道如何去找参数和递归逻辑，好在通过慢慢的学习和做题，逐渐对这类算法有了进一步的认识，下次可以单独出一期讲回溯算法。
本次博客主要讲述的是动态规划算法，也就是那个明明知道什么叫动态，什么叫规划，连起来就不知道它到底是什么的算法了。其实本人也还在一个在学习的过程，但通过几天的学习和思考，逐渐对DP有了一个新的认识，以下我将慢慢来进行说明我对DP的一个学习认识过程。
二、动态规划的概念
本人习惯于对任何问题，无论是学高数还是大物，甚至是数据结构与算法，都首先从其最初始的定义开始。那么什么叫动态规划呢？
动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种解决多阶段决策问题的数学优化方法。它将原问题分解成若干个子问题，通过解决子问题只需解决一次并将结果保存下来，从而避免了重复计算，提高了算法效率。总的来讲，动态规划算法使用时，这个问题得具备两个要素：1.重叠子问题2.最优子结构。
三、具体示例
大体来说，判断一个题目适不适合动态规划，就得去尝试寻找对于这个题目来说，他存不存在最优子结构和重叠子问题。如果确实存在，那么如何去尝试用DP算法去解决这个问题呢？接下来跟着我的思路，去尝试看三个DP的问题，相信你会有更多的收获。
3.1 找出连续子序列的最大和
笔者是通过一个视频认识这道题的，这个视频在哔站，在搜索框中输入动态规划，第一个视频就是它。视频链接在这。10分钟彻底搞懂“动态规划”算法_哔哩哔哩_bilibilihttps://www.bilibili.com/video/BV1AB4y1w7eT/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=09d0a5241128639946dcdfb5bf184df2感兴趣的小伙伴可以去看看，相信会对你有所帮助。
这道题目是这样说的，给定一个一维数组，尝试找出这个一维数组的连续子序列的最大和。如给出一维数组[3，-4，2，-1，2，6，-5，4]，这个一维数组的最大连续子序列和为2+(-1)+2+6=9。
那么怎么去做这道题目呢？想开始我拿到这道题目也是一脸懵。一直反复在脑子里面思考“连续子序列的最大和，连续子序列的最大和，连续子序列的最大和”。但是重点在于这个嘛？重点在于你不要被他所谓的标签给束缚了，有人告诉你这道题可以用动态规划去解决，你就反反复复地去尝试用动态规划的思想去解决。首先尝试去定义一个DP数组，确定这个DP数组的意思是什么，然后去找到状态转移方程，然后定义初始化的条件？？？？是这样做的嘛？显然不是。
对于这道题，我认为最好的方式是不要认为他可以用DP去解决，假装你自己并不知道这道题可以用DP，你甚至不知道这道题怎么去解决。到底能用数据结构或者算法中的哪一个去解决，你自己完全不知道。你首先第一步需要做的事情是去分析。这道题目说的是连续子序列，那么我们就从最开始的3开始，3+(-4)，3+(-4)+2，3+(-4)+2+(-1).........，一直往后，然后从-4开始，从2开始，你发现了什么？在算3+(-4)+2+(-1)的时候，我是不是算过了3+(-4)，我从2开始的话是不是算过了2+(-1)？所以，你发现了什么？一个很长的连续序列长串，他确确实实是由一个个连续序列短串加起来得到的，所以是不是存在子结构？显然，长串的最优解也是由子串的最优解得出，也就是说是存在最优子结构，不用多说，必然也是一个重叠子问题。那么说明了什么，这道题可以用DP的思想来进行解决。
那么DP首先实现三部曲，第一确定你的DP数组的含义，其次找到状态转移方程，接着初始化，最后进行相应的操作，实现整个算法思路和过程就OK了。那么问题来了，DP数组的含义我们怎么去确定呢？我觉得最简单的方式就是，他要求什么，我就设什么。既然这道题目让我求的就是子序列的和，我就定义这个dp数组的值就是子序列的和。那么怎么去确定这个dp数组是一维还是二维呢，也就是具体的含义是什么？这就得看你上面的分析了，第一个重点在于你的连续子序列从哪里开始，也就是数组的索引值是什么，其次在于你的连续子序列的长度是什么，所以这个dp就是一个二维数组，因为你的这个子序列的值和这两个因素有关。那么我们就可以定义dp[i][j]的含义为从数组的索引值为i处开始的长度为j的连续子序列的和。
那么问题来了，这个状态转移方程式什么呢？其实你加以分析一下，你要分析，要去动手，不然永远凭脑子去想的话永远都想不出来。dp[i][j]表示数组的索引值为i处开始的长度为j的连续子序列的和，那么dp[i-1][j]等于什么呢？dp[i][j-1]的含义是什么？索引值为i处开始的长度和j-1的连续子序列的和，所以dp[i][j]=dp[i][j-1]+arr[i+j-1]。这里把原数组定义为arr。
dp数组定义和状态转移方程已经写完了，那么接下去就是去实现dp数组的初始化。你可以将dp数组都初始化为0，也可以dp[0][1]=arr[0]都可以。这其实是和你的状态转移方程有一定的联系，可以多思考思考，初始化很重要。
代码的具体实现如下：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int dp[50][50];
vector<int> arr;
int main()
{
int n, result;
result = 0;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int num;
cin >> num;
arr.push_back(num);
}
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n - i; j++)
{
dp[i][j] = dp[i][j - 1] + arr[j + i - 1];
if (dp[i][j] > result)
{
result = dp[i][j];
}
}
}
cout << result << endl;
return 0;
}运行结果如下：
3.2 数组分割
我们再来看一道蓝桥杯真题。一样的，我们假装不知道这题目可以用动态规划来解决，通过自己的分析和探索，来看看这道题的原理和内层逻辑是什么，可不可以用动态规划去实现，如果可以用动态规划去实现，我们该怎么去实现？
具体题目如下：
题目链接为用户登录https://www.lanqiao.cn/problems/3535/learning/
遇到任何题目，第一步最重要的不是看他到底是用什么算法去解决，最重要的点在于自己去分析。分析问题，看看这道题适合用什么方式去解决。所以，让我们开始动手去做，去尝试，看看怎么具体解决这个问题。
首先理解题目意思，先不管有几组数据，我们先尝试一组数据。给出一个数组，随便在这个数组里面选择数字，使数字之和为一个偶数，有多少种不同的选择方式。当然，需要保证S1、S2都为偶数，那么第一，整个数组的和是不是得为偶数。这就出现了第一个判断的条件了，脑子就可以开始写if判断了。
接下来，继续去思考，假如说对于一个数组[1,3,5,7,12,6,8]。我需要随便找数字，让他的和为偶数，我该怎么去找呢？可以选择1，可以选择3，可以选择5，甚至是7，这就显的很杂乱无章。如果我选择了1+3+5，那么后面再遇到1+3+5+7的时候，我是不是可以用前面已经算好的1+3+5得到的结果，再去加7呢？当然可以，那么就往这个方向去思考，存在子结构，重叠子问题，可以尝试。那么dp数组的定义就是所选数字之和，但是有个新问题，和找连续子序列的最大和这个问题不一样，他是一个连续的子序列，我这里是不连续的，是可以随机取的，是无序的，这里的i，j就无法定义，或者说定义了，你也没法找到状态转移方程。所以这道题，和以前写过的都不一样。
那么我们该怎么去思考呢？尝试从问题的结果出发，去寻找问题。这道题的问题是什么？是让我们去求选择的R1有多少种可能的情况。好，那我们这样来思考，既然这个数组他很长，那么我们就选择其中i个数吧，反正i小于等于这个数组的长度。从i个数中随便选择数，使选择的数之和为偶数的方式有x种，那你再去思考一下，我这时候再从整个数组中（除去那已经拿出的i个数）拿出一个数，对于这个数来说，是不是有两种可能，第一种，选择这个数，第二种，不选择这个数。那如果你这个数他是偶数，前面i个数中随便选择的数之和也为偶数，偶数+偶数当然是符号条件的，所以你把这个数加入i个数中，那么在i+1个数中任意选择数，使之和为偶数的情况有多少种？思考下，没错，就是2x种。同样，如果是奇数，可以自行按着这个思路进行思考下去，我就不再赘述。
那么思考完了之后，你就会发现，这不是一个动态规划的思路嘛？存在最优子结构，也是一个最优子问题，还有相应的状态转移方程，所以就是一个DP问题。
那么开始吧，我们尝试去写代码实现，具体代码如下：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
//dp[i][0] 从数组前面i个数任意组合，得到结果和为偶数记为0，dp的值为从数组前面i个数任意组合，得到结果和为偶数的子集个数
//dp[i][1] 从数组前面i个数任意组合，得到结果和为奇数记为1，dp的值为从数组前面i个数任意组合，得到结果和为奇数的子集个数
//如果arr[i]为偶数，那么dp[i+1][0]=dp[i][0]*2
//如果arr[i]为奇数，那么dp[i+1][0]=dp[i][0]+dp[i][1]
long long mod = 1e9 + 7;
int main()
{
int n, q;
cin >> n;
q = 0;
vector<int> storge(n);
while ( q < n)
{
int m, sum;
cin >> m;
vector<int> arr;
sum = 0;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
int num;
cin >> num;
sum += num;
arr.push_back(num);
}
if (sum % 2 == 0)
{
int dp[1010][2];
dp[0][0] = 1;
dp[0][1] = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
if (arr[i-1] % 2 == 0)
{
dp[i][0] = 2 * (dp[i - 1][0]) % mod;
dp[i][1] = 2 * (dp[i - 1][0]) % mod;
}
else
{
dp[i][0] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1]) % mod;
dp[i][1] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1]) % mod;
}
}
storge[q] = dp[m][0];
}
else
{
storge[q] = 0;
}
q += 1;
}
for (int i = 0; i < q; i++)
{
cout << storge[i] << endl;
}
return 0;
}测试用例运行效果截图：
蓝桥测试用例只通过了20%，最近一直苦恼于样式用例好像都能通过，但是一旦测试用例，就有一部分能过，或者都不能过这种。有知道为什么的小伙伴也可以写在评论区或者私信我，告诉我一下怎么解决这个问题。（我觉得我写的这个代码的思路是没有问题的。）
蓝桥测试截图：
3.3 保险箱问题
题目链接在这
用户登录https://www.lanqiao.cn/problems/3545/learning/首先一样的，先假装不知道这道题能用什么方式去解决，去动脑子，去思考，尝试对问题从最基础的地方开始剖析。
一个保险箱有n个数字，x为初始输入数字，y为我们需要变成的数字。根据题目的意思，实际上也就是说anan-1an-2......a0其实也就是为an*pow（10，n-1）+.....a0，所以第一个性质，无所谓你从哪个数字开始进行调整，可以是an，也可以是an-1，你随便调整。比如对于所给样例，输入12349，得到54321，你可以选择从1开始先调整到5，也可从2开始调整到4，依次类推都行。
既然怎么调整都行，我们尽量做到有序，那么要保证有序，可以从左到右，或者从右往左。假如从左往右去进行调整，思考一个问题，对于一个数，比如从9变成1，有两种可能，第一种我直接给9+2，是不是可以将这个位上的数变成1，或者说我从9直接-8也能变成1，反正不管怎么样，我要将x上的某一位变成y上的某一位，无非就是这两种操作。既然如此如果从左往右开始进行，如果对于第二位你进行了进位操作，势必会影响到第一位，那么第一位刚处理完岂不是白处理了。但是反过来，你从末尾开始从右往左进行调整，你可以发现，我只要调整好了这一位，影响的是前一位，但是前一位并没有进行调整过，因此，我们选择从右开始向左调整。
所以经过分析，我觉得可以用暴力搜索的方式去尝试解决这个问题，事实上递归的深度也就是整个数字的个数n，每一次操作，都有两种可能，要么进位/退位，要么直接在对应位置上进行+/-的操作。
以下是我实现的dfs的代码：
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int n;//数字位数
string x, y;//x为输入数字，y为目标数字
int arr[50];//1代表该数字直接加/减，2代表该数字进位/退位
int ninef(int a, int b, int flag)
{
int res;
//flag为1，说明直接进行加/减
if (a > b && flag == 1)
{
res = a - b;
return res;
}
//flag为1，进行退位/进位操作
if (a > b && flag == 2)
{
res = 10 + b - a;
return res;
}
if (a < b && flag == 1)
{
res = b - a;
return res;
}
if (a < b && flag == 2)
{
res = 10 + a - b;
return res;
}
}
void dfs(int startIndex,int result, int& max_num)
{
if (startIndex < 0)
{
if (result < max_num)
{
max_num = result;
}
return;
}
int a = x[startIndex] - '0';
int b = y[startIndex] - '0';
//递归逻辑
if (a > b)
{
arr[startIndex] = 1;
result += ninef(a, b, 1);
dfs(startIndex - 1, result, max_num);
arr[startIndex] = 0;
result -= ninef(a, b, 1);
arr[startIndex] = 2;
result += ninef(a, b, 2);
if (startIndex != 0)
{
x[startIndex - 1] += 1;
}
dfs(startIndex - 1, result, max_num);
arr[startIndex] = 0;
result -= ninef(a, b, 2);
if (startIndex != 0)
{
x[startIndex - 1] -= 1;
}
}
if (a < b)
{
arr[startIndex] = 1;
result += ninef(a, b, 1);
dfs(startIndex - 1, result, max_num);
arr[startIndex] = 0;
result -= ninef(a, b, 1);
arr[startIndex] = 2;
result += ninef(a, b, 2);
if (startIndex != 0)
{
x[startIndex - 1] -= 1;
}
dfs(startIndex - 1, result, max_num);
arr[startIndex] = 0;
result -= ninef(a, b, 2);
if (startIndex != 0)
{
x[startIndex - 1] += 1;
}
}
if (a == b)
{
dfs(startIndex - 1, result, max_num);
}
}
int main()
{
cin >> n;
cin >> x >> y;
int max_num = 100000;
int result = 0;
dfs(n - 1, result, max_num);
cout << max_num << endl;
return 0;
}运行样例如下：
样例运行没问题，再蓝桥官方运行的话只通过了百分之二十的样例
既然如此，通过上述分析，其实不难发现一个DP的思想在里面，且听我慢慢道来。
我以简单一点的实例进行说明。
n=3 ，x=129 ，y=531，结合上述分析，不难画出如下图所示的树状结构图
剩下的节点可以自行画完。整个最小方案就是9+2，然后3不变，最后1变5，最小方案为6。其实对每个结点来说，无非是两种情况，到底是+/-得来的，还是进位/退位得来的呢？这里以x和y的从左往右数的第二位来说明吧。假设现状9已经变为了1，那么9怎么样变为1呢？是+还是减？+了必然会影响他的前一位，减了并不影响前一位，所以我第二位有几种变来的方式？取决于上一位怎么变化。同时，通过树结构不难发现，整个最优解其实就在一条路径上，你会发现，整体的最优解，其实也就是每一步的最优方案。对于9而言，总体最优的方案就是9+2，而实际单独拿出9来说，其最优解也是对9+2，变成1。那么存在最优子结构，存在重叠子问题，又何尝不是一个DP问题呢。
那么既然整道题目是一个DP问题，首先得确定DP数组的含义到底是什么。回到树结构，观察每一个结点，DP问题不就是找到前后之间的联系嘛，试着去找一下。第一个节点有两种方式变为目标节点，但实际上他自己如何变会影响到下一节点，那么这就是前后之间的关系。那么就可以定义了，DP[i][j]为目标为i的节点通过j的方式得到，而j有什么可能，要么+，要么-，所以j的值可为0/1。具体代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int x[100010];//存放输入:1 2 3 4 9
int y[100010];//存放答案:5 4 3 2 1
int dp[100010][2];//dp[i,j]表示（从后向前数）第i位达到了目标，且第i位是靠+实现的(y==0)或者第i位是靠-实现的（y==1）
void fun()
{
dp[0][0] = (y[0]-x[0]+10)%10;//9加到2
dp[0][1] = (x[0]-y[0]+10)%10;//9减到2
for( int i=1;i<=n-1;i++ )//以i=1为例： 无非就是当前是加减，上一位是加减，四种排列组合状态
{
dp[i][0] = min( (y[i] - x[i] - (y[i-1]<x[i-1]) +10 )%10 + dp[i-1][0],//(2-4-(1<9)+10)%10+2 = 9：9先加到1，5再加到2
(y[i] - x[i] + (y[i-1]>x[i-1]) +10 )%10 + dp[i-1][1]);//(2-4+(1>9)+10)%10+7 = 16:9先减到1，4再加到2
dp[i][1] = min( (x[i] - y[i] + (y[i-1]<x[i-1]) +10 )%10 + dp[i-1][0],//(4-2+(1<9)+10)%10+2 = 5: 9先加到1，5再减到2
(x[i] - y[i] - (y[i-1]>x[i-1]) +10 )%10 + dp[i-1][1]);//(4-2-(1>9)-2+10)%10+2 = 10：9先减到1，4再减到2
}
cout<<min( dp[n-1][0],dp[n-1][1] )<<endl;//最终的结果，可能是加来的，也有可能是减来的。
}
int main()
{
cin>>n;
char c;
for( int i=n-1;i>=0;i-- )
{
cin>>c;
x[i] = c-'0';
}
for( int i=n-1;i>=0;i-- )
{
cin>>c;
y[i] = c-'0';
}
fun();
}四、总结
动态规划算法的变形有很多，题型有很多，解题的方法也有很多。想要把动态规划算法用的如鱼得水，我觉得还是得多刷题目并不断思考。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-845405.html
学习算法时，重点不在于这道题的标签是什么，更重要的在于去思考这道题目的底层逻辑，尝试去对问题进行剖析，而不是停留在用DP或者回溯或者别的算法的公式去套。题目是活的，人也是活的，希望我们都能在不断解决问题的快乐中继续前行。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-845405.html
到了这里，关于动态规划（DP）学习和思考的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
