【洛谷】【动态规划】P1006:传纸条(C/C++)-Toy模板网

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传纸条

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

输入第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。
接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出文件共一行一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入输出样例

输入样例

输出样例

解题思路

本题作为一道动态规划的题目，麻烦就麻烦在本题要找两条最优路径，且不能重复，虽然一条从左上角到右下角，一条从右下到左上，但其实可以看成从左上角找两条不相交的好心值最大的路径到右下角。

错误避坑

本题我一开始想的是用两个二维数组来分别存两条路径，对于第一条路径，如果从左上往右下走的话，对于每一个坐标点，它顶多只能是由它上面的那个点抑或是它左边的那个点过来的，因此可以得到一个二维的动态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + arr[i][j]，以此得到第一条从左上到右下的路径，再倒着遍历把第一条路径经过的点标记为0，最后再用动态转移方程遍历得到第二条路径，但这样有时候第一条路径会把路给堵死，使得第二条路无法在不经过第一条路的前提下到达终点。例如，输入样例中，如果先只考虑一条路的话，就应该是先往右到3，再往下到8，再往下到7，最后往右到终点。如此，第二条路就走不通了。

0 3 x
x 8 x
x 7 0

正确思路

因此选择用四维数组dp,用dp[i][j][k][l]来表示（存储）从起点到坐标点(i,j)和(k,l)所能得到的最大好感度，要到达(i,j)和(k,l)共有四种情况，分别为（i）（j - 1）（k - 1）（l）, （i）（j - 1）（k）（l - 1）, （i - 1）（j）（k）（l - 1）, （i - 1）（j）（k - 1）（l），到达它们能得到的最大好感度分别为dp[i][j - 1][k - 1][l], dp[i][j - 1][k][l - 1], dp[i - 1][j][k][l - 1], dp[i - 1][j][k - 1][l] ，取它们之中的最大值，再加上(i,j)和(k,l)点的好感值arr[i][j] ，arr[k][l]，即可得到dp[i][j][k][l]。
由此得到动态转移方程：dp[i][j][k][l] = maxx(dp[i][j - 1][k - 1][l], dp[i][j - 1][k][l - 1], dp[i - 1][j][k][l - 1], dp[i - 1][j][k - 1][l]) + arr[i][j] + arr[k][l]
要使两条线不相交，在遍历的时候，将l的初始值设为j + 1即可，即for (int l = j + 1; l <= n; l++)。
由于两条路径不能相交，所以都不能到达终点，但终点的好感值为0，因此只要一条到达终点的上面的那个点，一条到达左边的那个点，就是最终的答案，即dp[m][n - 1][m - 1][n]

AC Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int dp[51][51][51][51] = { 0 };
int arr[51][51];
int maxx(int a, int b, int c, int d)//求得四个中的最大值
{
	int i = max(a, b);
	int j = max(c, d);
	int sum = max(i, j);
	return sum;
}
int main()
{
	int m, n;
	cin >> m >> n;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			cin >> arr[i][j];
		}
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			for (int k = 1; k <= m; k++)
			{
				for (int l = j + 1; l <= n; l++)//防止点重合
				{
					dp[i][j][k][l] = maxx(dp[i][j - 1][k - 1][l], dp[i][j - 1][k][l - 1], dp[i - 1][j][k][l - 1], dp[i - 1][j][k - 1][l]) + arr[i][j] + arr[k][l];
				}
			}
		}
	}
	cout << dp[m][n - 1][m - 1][n];//输出最终答案
	return 0;
}