代码学习记录34---动态规划-Toy模板网

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随想录日记part34

$t im e ：$ 2024.04.02

主要内容：今天开始要学习动态规划的相关知识了，今天的内容主要涉及两个方面：
背包问题和分割等和子集。

01背包问题
416. 分割等和子集

动态规划五部曲：
【1】.确定dp数组以及下标的含义
【2】.确定递推公式
【3】.dp数组如何初始化
【4】.确定遍历顺序
【5】.举例推导dp数组

Topic101背包问题

题目：
小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的空间，并且具有不同的价值。小明的行李空间为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料只能选择一次，并且只有选与不选两种选择，不能进行切割。
输入描述：
第一行包含两个正整数，第一个整数 M 代表研究材料的种类，第二个正整数 N，代表小明的行李空间。
第二行包含 M 个正整数，代表每种研究材料的所占空间。
第三行包含 M 个正整数，代表每种研究材料的价值。

输入：
$6\ 1\\ 2\ 2\ 3\ 1\ 5\ 2\\ 2\ 3\ 1\ 5\ 4\ 3$
输出： $5$

思路：

【1】.二维dp数组01背包
1.dp含义：dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
2.确定递推公式
有两个方向推出来dp[i][j]:

不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)

放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

代码如下：

mport java.util.*;
class Main{
    public static void main(String[] agrs){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int m=sc.nextInt();
        int n=sc.nextInt();
        int[] weights=new int[m];
        int[] values=new int[m];
        for(int i=0;i<m;i++){
            weights[i]=sc.nextInt();
        }
        for(int i=0;i<m;i++){
            values[i]=sc.nextInt();
        }
        //dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少
        int[][] dp=new int[m][n+1];
        //初始化
        for(int i=0;i<m;i++){
            dp[i][0]=0;
        }
        for(int i=weights[0];i<=n;i++){
            dp[0][i]=values[0];
        }
        //状态转换
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=0;j<=n;j++){
                if(j<weights[i])dp[i][j]=dp[i-1][j];
                else dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j - weights[i]]+values[i]);
            }
        }
        System.out.println(dp[m-1][n]);
    }
}

【2】.滚动数组01背包
倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！
举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15
如果正序遍历
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30
此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。
为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？
倒序就是先算dp[2]
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。
代码如下：

import java.util.*;
class Main{
    public static void main(String[] agrs){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int m=sc.nextInt();
        int n=sc.nextInt();
        int[] weights=new int[m];
        int[] values=new int[m];
        for(int i=0;i<m;i++){
            weights[i]=sc.nextInt();
        }
        for(int i=0;i<m;i++){
            values[i]=sc.nextInt();
        }
        //dp[i]表示放进容量为j的背包，价值总和最大是多少
        int[] dp=new int[n+1];
        //初始化
        //状态转换
        for(int i=0;i<m;i++){
            for(int j=n;j>=weights[i];j--){
                dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-weights[i]]+values[i]);
            }
        }
        System.out.println(dp[n]);
    }
}

Topic2分割等和子集

题目：

给你一个只包含正整数的非空数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

输入： $n u m s = [1, 5, 11, 5]$
输出： $t r u e$

思路：

按照上面的五个步骤给出下面的代码，在注释中给出具体的思路：
递推我们理解一下：
整体代码如下：

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int sum=0;
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            sum+=nums[i];
        }
        //dp[j]表示背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]
        int[] dp=new int[10001];
        if(sum%2==1) return false;
        sum=sum/2;
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            for(int j=sum;j>=nums[i];j--){
                dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
            }
        }
        if(dp[sum]==sum) return true;
        else return false;
    }
}