对SLAM中变换矩阵T的理解-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了对SLAM中变换矩阵T的理解。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

前言

学SLAM一直折腾不清楚变换矩阵T or 旋转矩阵R的物理意义（主要是总是搞不清这个变换矩阵是从A到B还是B到A，当然他们之间只差一个逆就是了），于是花时间探究整理了一下，主要定义来自SLAM十四讲，和其他教材定义冲突请以具体情况为准。

正篇

1.变换矩阵T与点（常见的说法）

首先明确一点，对于空间中一点 $X$ ，以及坐标系A与坐标系B，以下说法等价（说的是一个东西）：
1.把 $X$ 在A下的坐标 $x_A$ 变换到 $X$ 在B下的坐标 $x_B$ 的变换矩阵 $T$ ；
2.从A到B的变换矩阵 $T_{BA}$ ；
3.以坐标系A为基础（参考坐标系），坐标系B的变换矩阵 $T$ 。

其中1的说法是有明确数学阐述的，即 $x_B = Tx_A$ 。其他两个说法也较为常见，遇见时转化成1的说法去理解和应用即可。对于说法3，其实默认将变换矩阵 $T$ 作为坐标系B的一种描述了，换句话说，只要给定了基础（参考）坐标系，变换矩阵 $T$ 可以唯一确定坐标系B，坐标系B也可以确定一个变换矩阵 $T$ 。

2.变换矩阵T与坐标系（直观理解变换矩阵描述的变换）

上面的说法其实只给出了变换矩阵 $T$ 对点的作用，现在考虑对坐标系的作用（即对坐标系基的作用），便于直观理解变换矩阵 $T$ 是个怎样的变换（这里直接给出结论）：

设变换矩阵 $T$ 的旋转部分（旋转矩阵）为 $R$ ，平移部分为 $t$ ，则分情况：
1.当 $\neq 0$ 时，只关注平移部分 $t$ 即可简单区分，即坐标系B的原点坐标即为 $- t$ ；
2.当 $t = 0$ 时，显然有 $x_B = Rx_A$ ，且坐标系B的基在坐标系A下的坐标写成列向量，并起来就会形成矩阵 $R^{-1}$ 。