一种是从 (i-1, j) 这个位置走一步到达
一种是从(i, j - 1) 这个位置走一步到达
因为是计算所有可能的步骤,所以是把所有可能走的路径都加起来,所以关系式是 dp[i] [j] = dp[i-1] [j] + dp[i] [j-1]。
步骤三、找出初始值
显然,当 dp[i] [j] 中,如果 i 或者 j 有一个为 0,那么还能使用关系式吗?答是不能的,因为这个时候把 i - 1 或者 j - 1,就变成负数了,数组就会出问题了,所以我们的初始值是计算出所有的 dp[0] [0….n-1] 和所有的 dp[0….m-1] [0]。这个还是非常容易计算的,相当于计算机图中的最上面一行和左边一列。因此初始值如下:
dp[0] [0….n-1] = 1; // 相当于最上面一行,机器人只能一直往左走
dp[0…m-1] [0] = 1; // 相当于最左面一列,机器人只能一直往下走
撸代码
三个步骤都写出来了,直接看代码
public static int uniquePaths(int m, int n) {
if (m <= 0 || n <= 0) {
return 0;
}
int[][] dp = new int[m][n]; //
// 初始化
for(int i = 0; i < m; i++){
dp[i][0] = 1;
}
for(int i = 0; i < n; i++){
dp[0][i] = 1;
}
// 推导出 dp[m-1][n-1]
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
案例三、二维数组 DP
写到这里,有点累了,,但还是得写下去,所以看的小伙伴,你们可得继续看呀。下面这道题也不难,比上面的难一丢丢,不过也是非常类似
问题描述
给定一个包含非负整数的 m x n 网格,请找出一条从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小。
说明:每次只能向下或者向右移动一步。
举例:
输入:
arr = [
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
和上面的差不多,不过是算最优路径和,
步骤一、定义数组元素的含义
由于我们的目的是从左上角到右下角,最小路径和是多少,那我们就定义 dp[i] [j]的含义为:当机器人从左上角走到(i, j) 这个位置时,最下的路径和是 dp[i] [j]。那么,dp[m-1] [n-1] 就是我们要的答案了。
注意,这个网格相当于一个二维数组,数组是从下标为 0 开始算起的,所以 由下角的位置是 (m-1, n - 1),所以 dp[m-1] [n-1] 就是我们要走的答案。
步骤二:找出关系数组元素间的关系式
想象以下,机器人要怎么样才能到达 (i, j) 这个位置?由于机器人可以向下走或者向右走,所以有两种方式到达
一种是从 (i-1, j) 这个位置走一步到达
一种是从(i, j - 1) 这个位置走一步到达
不过这次不是计算所有可能路径,而是计算哪一个路径和是最小的,那么我们要从这两种方式中,选择一种,使得dp[i] [j] 的值是最小的,显然有dp[i] [j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + arr[i][j];// arr[i][j] 表示网格种的值
步骤三、找出初始值
显然,当 dp[i] [j] 中,如果 i 或者 j 有一个为 0,那么还能使用关系式吗?答是不能的,因为这个时候把 i - 1 或者 j - 1,就变成负数了,数组就会出问题了,所以我们的初始值是计算出所有的 dp[0] [0….n-1] 和所有的 dp[0….m-1] [0]。这个还是非常容易计算的,相当于计算机图中的最上面一行和左边一列。因此初始值如下:
dp[0] [j] = arr[0] [j] + dp[0] [j-1]; // 相当于最上面一行,机器人只能一直往左走
dp[i] [0] = arr[i] [0] + dp[i] [0]; // 相当于最左面一列,机器人只能一直往下走
代码如下
public static int uniquePaths(int[][] arr) {
int m = arr.length;
int n = arr[0].length;
if (m <= 0 || n <= 0) {
return 0;
}
int[][] dp = new int[m][n]; //
// 初始化
dp[0][0] = arr[0][0];
// 初始化最左边的列
for(int i = 1; i < m; i++){
dp[i][0] = dp[i-1][0] + arr[i][0];
}
// 初始化最上边的行
for(int i = 1; i < n; i++){
dp[0][i] = dp[0][i-1] + arr[0][i];
}
// 推导出 dp[m-1][n-1]
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + arr[i][j];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
案例 4:编辑距离
这次给的这道题比上面的难一些,在 leetcdoe 的定位是 hard 级别。
问题描述
给定两个单词 word1 和 word2,计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。
你可以对一个单词进行如下三种操作:
插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符
示例 1:
输入: word1 = “horse”, word2 = “ros”
输出: 3
解释:
horse -> rorse (将 ‘h’ 替换为 ‘r’)
rorse -> rose (删除 ‘r’)
rose -> ros (删除 ‘e’)
解答
还是老样子,按照上面三个步骤来,并且我这里可以告诉你,90% 的字符串问题都可以用动态规划解决,并且90%是采用二维数组。
步骤一、定义数组元素的含义
由于我们的目的求将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。那我们就定义 dp[i] [j]的含义为:当字符串 word1 的长度为 i,字符串 word2 的长度为 j 时,将 word1 转化为 word2 所使用的最少操作次数为 dp[i] [j]。
有时候,数组的含义并不容易找,所以还是那句话,我给你们一个套路,剩下的还得看你们去领悟。
步骤二:找出关系数组元素间的关系式
接下来我们就要找 dp[i] [j] 元素之间的关系了,比起其他题,这道题相对比较难找一点,但是,不管多难找,大部分情况下,dp[i] [j] 和 dp[i-1] [j]、dp[i] [j-1]、dp[i-1] [j-1] 肯定存在某种关系。因为我们的目标就是,从规模小的,通过一些操作,推导出规模大的。对于这道题,我们可以对 word1 进行三种操作
插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符
由于我们是要让操作的次数最小,所以我们要寻找最佳操作。那么有如下关系式:
a、如果我们 word1[i] 与 word2 [j] 相等,这个时候不需要进行任何操作,显然有 dp[i] [j] = dp[i-1] [j-1]。(别忘了 dp[i] [j] 的含义哈)。
b、如果我们 word1[i] 与 word2 [j] 不相等,这个时候我们就必须进行调整,而调整的操作有 3 种,我们要选择一种。三种操作对应的关系试如下(注意字符串与字符的区别):
(1)、如果把字符 word1[i] 替换成与 word2[j] 相等,则有 dp[i] [j] = dp[i-1] [j-1] + 1;
(2)、如果在字符串 word1末尾插入一个与 word2[j] 相等的字符,则有 dp[i] [j] = dp[i] [j-1] + 1;
(3)、如果把字符 word1[i] 删除,则有 dp[i] [j] = dp[i-1] [j] + 1;
那么我们应该选择一种操作,使得 dp[i] [j] 的值最小,显然有
dp[i] [j] = min(dp[i-1] [j-1],dp[i] [j-1],dp[[i-1] [j]]) + 1;
于是,我们的关系式就推出来了,
步骤三、找出初始值
显然,当 dp[i] [j] 中,如果 i 或者 j 有一个为 0,那么还能使用关系式吗?答是不能的,因为这个时候把 i - 1 或者 j - 1,就变成负数了,数组就会出问题了,所以我们的初始值是计算出所有的 dp[0] [0….n] 和所有的 dp[0….m] [0]。这个还是非常容易计算的,因为当有一个字符串的长度为 0 时,转化为另外一个字符串,那就只能一直进行插入或者删除操作了。
代码如下(可以左右滑动)
public int minDistance(String word1, String word2) {
int n1 = word1.length();
int n2 = word2.length();
int[][] dp = new int[n1 + 1][n2 + 1];
// dp[0][0…n2]的初始值
for (int j = 1; j <= n2; j++)
dp[0][j] = dp[0][j - 1] + 1;
// dp[0…n1][0] 的初始值
for (int i = 1; i <= n1; i++) dp[i][0] = dp[i - 1][0] + 1;
// 通过公式推出 dp[n1][n2]
for (int i = 1; i <= n1; i++) {
for (int j = 1; j <= n2; j++) {
// 如果 word1[i] 与 word2[j] 相等。第 i 个字符对应下标是 i-1
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)){
p[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}else {
dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j]) + 1;
}
}
}
return dp[n1][n2];
}
最后说下,如果你要练习,可以去 leetcode,选择动态规划专题,然后连续刷几十道,保证你以后再也不怕动态规划了。当然,遇到很难的,咱还是得挂。
三、总结
上面的这些题,基本都是不怎么难的入门题,除了最后一道相对难一点,本来是要在写几道难一点,并且讲如何优化的,不过看了下字数,文章有点长了,关于如何优化的,后面再讲吧,在之后的文章中,我也会按照这个步骤,在给大家讲四五道动态规划 hard 级别的题,会放在每天推文的第二条给大家学习。如果大家感兴趣,文章看的人多,那么优化篇很快就会撸出来,不过感兴趣的人很少的话,动力比较少,可能就会慢一些,所以各位小伙伴,如果觉得有收获,不妨三连走起来,嘻嘻。
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文末
今天关于面试的分享就到这里,还是那句话,有些东西你不仅要懂,而且要能够很好地表达出来,能够让面试官认可你的理解,例如Handler机制,这个是面试必问之题。有些晦涩的点,或许它只活在面试当中,实际工作当中你压根不会用到它,但是你要知道它是什么东西。
最后在这里小编分享一份自己收录整理上述技术体系图相关的几十套腾讯、头条、阿里、美团等公司2021年的面试题,把技术点整理成了视频和PDF(实际上比预期多花了不少精力),包含知识脉络 + 诸多细节,由于篇幅有限,这里以图片的形式给大家展示一部分。
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