目录
一、用户均衡模型简略介绍
1.1 Wardrop第一原理
1.2 用户均衡模型
1.3 BPR函数
1.4 用户均衡模型的积分项
二、Frank Wolfe算法求解步骤
三、代码
3.1 导入必要的库
3.2 构建交通网络
3.3 绘制交通路网图
3.4 定义BPR函数
3.5 初始化路网流量
3.6 获取 flow_temp
3.7 获取下降方向descent
3.8 定义目标函数
3.9 一维搜索最优步长，并更新流量
3.10 主函数
四、所用文件
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-848461.html
一、用户均衡模型简略介绍
1.1 Wardrop第一原理
- 道路的利用者，都确切知道网络的交通状态，并试图选择最短路径
- 当网络达到平衡状态时，每个OD对的各条被使用的路径，行驶时间相等，且行驶时间最短
- 没有被使用的路径的行驶时间大于或等于最小行驶时间
1.2 用户均衡模型
满足Wardrop第一原理的交通分配模型，称为用户均衡模型。
1956年Beckmann提出了一种满足Wardrop第一原理的数学规划模型。模型核心是，交通网络中的用户，都试图选择最短路径，而最终使得被选择的路径的阻抗最小且相等。该数学规划模型为：
1.3 BPR函数
在用户均衡模型中，为路阻函数，我们一般采用BPR函数，即：
- ，表示最快通过路段a的时间；
- α常取0.15，β常取4.0 ；
- ，表示路段a的通行能力；
- ，表示路段a的流量
1.4 用户均衡模型的积分项
为便于后续求解，我们将BPR函数代入，进行积分计算，过程如下：
因此，我们的目标函数为：
二、Frank Wolfe算法求解步骤
友情提醒：后面若对代码主体逻辑有疑惑，返回看看这部分。
步骤1：初始化。基于零流图的路阻，依次搜索每一个OD对 r,s 所对应的最短路径，并将 r,s 间的OD流量，全部分配到对应的最短路径上，得到初始路段流量，并令迭代次数n=1。
步骤2：更新路阻。根据BPR函数，分别代入每个路段的初始流量，求得阻抗
步骤3：下降方向。基于阻抗，按照步骤1中的方法（最短路全有全无分配），将流量重新分配到对应路径上，得到临时路段流量，进而得到
步骤4：搜索最优步长，并更新流量。采用二分法，搜索最优步长，并令。其中，最优步长满足：
步骤5：结束条件。如果，则算法结束；否则n=n+1，转至步骤2。此处的e 表示误差阈值，在代码部分用max_err表示。
三、代码
代码基于Python的NetWorkX库编写，这样将大大减少我们代码编写的工作量，并且更易于阅读。我们以SiouxFalls交通网络为例，进行交通网络构建与流量分配。
3.1 导入必要的库
import pandas as pd
import numpy as np
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import minimize_scalar- pandas，用于读取文件；
- numpy在计算误差时使用；
- networkx贯穿整个代码；
- matplotlib用于绘制交通网络图
- scipy在搜索最优步长时用到。
3.2 构建交通网络
def build_network(Link_path, Node_path):
# 读取点数据、边数据
links_df = pd.read_csv(Link_path)
# 需要注意使用from_pandas_edge，其读取的边的顺序和csv中边的顺序有差异
G = nx.from_pandas_edgelist(links_df, source='O', target='D', edge_attr=['FFT', 'Capacity'], create_using=nx.DiGraph())
nx.set_edge_attributes(G, 0, 'flow_temp')
nx.set_edge_attributes(G, 0, 'flow_real')
nx.set_edge_attributes(G, 0, 'descent')
nx.set_edge_attributes(G, nx.get_edge_attributes(G, "FFT"), 'weight')
# 获取节点位置信息
nodes_df = pd.read_csv(Node_path)
node_positions = {}
for index, row in nodes_df.iterrows():
node_positions[row['id']] = (row['pos_x'], row['pos_y'])
# 更新图中节点的位置属性
nx.set_node_attributes(G, node_positions, 'pos')
return G- Link_path，表示路网文件路径。下载链接见文末，数据示例如下：
| O | D | FFT | Capacity |
| 1 | 2 | 6 | 25900.20064 |
| 1 | 3 | 4 | 23403.47319 |
| 2 | 1 | 6 | 25900.20064 |
| 2 | 6 | 5 | 4958.180928 |
| 3 | 1 | 4 | 23403.47319 |
- Node_path，表示节点文件路径。下载链接见文末，数据示例如下：
| id | pos_x | pos_y |
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 13 | 2 |
| 3 | 2 | 5 |
| 4 | 5 | 5 |
| 5 | 9 | 5 |
- flow_real，表示每次迭代更新后的路段流量或初始化流量，所有路段的flow_real组成
- flow_temp， 所有路段的flow_temp组成
- descent，表示flow_temp与flow_real的差值，所有路段的descent组成
- weight，表示路阻。初始的路阻，由于路段流量都是0，所以直接用FFT。后续将用BPR函数计算
3.3 绘制交通路网图
def draw_network(G):
pos = nx.get_node_attributes(G, "pos")
nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_size=200, node_color='lightblue', font_size=10, font_weight='bold')
plt.show()构建交通网络后，我们来看一看这个SiouxFalls网络长什么样子吧
3.4 定义BPR函数
def BPR(FFT, flow, capacity, alpha=0.15, beta=4.0):
return FFT * (1 + alpha * (flow / capacity) ** beta)- FTT，表示最快通过时间；
- flow，表示路段流量；
- capacity，表示路段通行能力；
- alpha和beta，是BPR函数的参数，在此取默认值。
3.5 初始化路网流量
def all_none_initialize(G, od_df):
# 这个函数仅使用一次，用于初始化
# 在零流图上，按最短路全有全无分配，用于更新flow_real
for _, od_data in od_df.iterrows():
source = od_data["o"]
target = od_data["d"]
demand = od_data["demand"]
# 计算最短路径
shortest_path = nx.shortest_path(G, source=source, target=target, weight="weight")
# 更新路径上的流量
for i in range(len(shortest_path) - 1):
u = shortest_path[i]
v = shortest_path[i + 1]
G[u][v]['flow_real'] += demand
# 初始化流量后，更新阻抗
for _, _, data in G.edges(data=True):
data['weight'] = BPR(data['FFT'], data['flow_real'], data['Capacity'])这个函数仅使用一次，用于初始化。在零流图上，按最短路全有全无分配，用于得到。
- od_df表示pd.Dataframe数据格式的OD流量信息。ODParis.csv示例数据如下：
| o | d | demand |
| 1 | 2 | 100 |
| 1 | 3 | 100 |
| 1 | 4 | 500 |
| 1 | 5 | 200 |
| 1 | 6 | 300 |
| 1 | 7 | 500 |
3.6 获取 flow_temp
flow_temp，即
def all_none_temp(G, od_df):
# 这个是虚拟分配，用于得到flow_temp
# 每次按最短路分配前，需要先将flow_temp归零
nx.set_edge_attributes(G, 0, 'flow_temp')
for _, od_data in od_df.iterrows():
# 每次更新都得读OD，后面尝试优化这个
source = od_data["o"]
target = od_data["d"]
demand = od_data["demand"]
# 计算最短路径
shortest_path = nx.shortest_path(G, source=source, target=target, weight="weight")
# 更新路径上的流量
for i in range(len(shortest_path) - 1):
u = shortest_path[i]
v = shortest_path[i + 1]
# 更新流量
G[u][v]['flow_temp'] += demand3.7 获取下降方向descent
descent，即
def get_descent(G):
for _, _, data in G.edges(data=True):
data['descent'] = data['flow_temp'] - data['flow_real']3.8 定义目标函数
def objective_function(temp_step, G):
s, alpha, beta = 0, 0.15, 4.0
for _, _, data in G.edges(data=True):
x = data['flow_real'] + temp_step * data['descent']
s += data["FFT"] * (x + alpha * data["Capacity"] / (beta + 1) * (x / data["Capacity"]) ** (beta + 1))
return s
该部分代码，对应本文1.4部分的目标函数，即：
3.9 一维搜索最优步长，并更新流量
def update_flow_real(G):
# 这个函数用于调整流量，即flow_real，并更新weight
best_step = get_best_step(G) # 获取最优步长
for _, _, data in G.edges(data=True):
# 调整流量，更新路阻
data['flow_real'] += best_step * data["descent"]
data['weight'] = BPR(data['FFT'], data['flow_real'], data['Capacity'])
def get_best_step(G, tolerance=1e-4):
result = minimize_scalar(objective_function, args=(G,), bounds=(0, 1), method='bounded', tol=tolerance)
return result.x3.10 主函数
def main():
G = build_network("Link.csv", "Node.csv") # 构建路网
draw_network(G) # 绘制交通路网图
od_df = pd.read_csv("ODPairs.csv") # 获取OD需求情况
all_none_initialize(G, od_df) # 初始化路网流量
print("初始化流量", list(nx.get_edge_attributes(G, 'flow_real').values()))
epoch = 0 # 记录迭代次数
err, max_err = 1, 1e-4 # 分别代表初始值、最大容许误差
f_list_old = np.array(list(nx.get_edge_attributes(G, 'flow_real').values()))
while err > max_err:
epoch += 1
all_none_temp(G, od_df) # 全有全无分配，得到flow_temp
get_descent(G) # 计算梯度，即flow_temp-flow_real
update_flow_real(G) # 先是一维搜索获取最优步长，再调整流量，更新路阻
# 计算并更新误差err
f_list_new = np.array(list(nx.get_edge_attributes(G, 'flow_real').values())) # 这个变量是新的路网流量列表
d = np.sum((f_list_new - f_list_old) ** 2)
err = np.sqrt(d) / np.sum(f_list_old)
f_list_old = f_list_new
print("均衡流量", list(nx.get_edge_attributes(G, 'flow_real').values()))
print("迭代次数", epoch)
# 导出网络均衡流量
df = nx.to_pandas_edgelist(G)
df = df[["source", "target", "flow_real"]].sort_values(by=["source", "target"])
df.to_csv("网络均衡结果.csv", index=False)
if __name__ == '__main__':
main()- epoch，表示迭代次数
- err，表示误差初始值
- max_err，表示最大容许误差
- f_list_new, f_list_old分别表示和，用于计算误差
四、所用文件
下载链接：交通分配（UE模型）文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-848461.html
到了这里，关于基于Frank Wolfe算法，求解交通分配UE模型（Python & NetWorkX）的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
