前面对 map / multimap / set / multiset 进行了简单的介绍【C++】map & set,在其文档介绍中发现,这几个容器有个共同点是:其底层都是按照二叉搜索树来实现的,但是二叉搜索树有其自身的缺陷,假如往树中插入的元素有序或者接近有序,二叉搜索树就会退化成单支树,时间复杂度会退化成 O(N),因此 map、set 等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理,即采用平衡树来实现。
1. AVL 树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率,但如果数据有序或者接近有序,二叉搜索树将退化为单支树,查找元素相当于在顺序表中搜索元素,效率低下。因此,两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii 和 E.M.Landis 在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法:当向二叉搜索树中插入新节点后,如果能保证每个节点的左右子树高度之差的绝对值不超过 1(需要对树中的节点进行调整),即可降低树的高度,从而减少平均搜索长度。
一棵 AVL 树或者是空树,或者是具有以下性质的二叉搜索树:
- 它的左右子树都是 AVL 树;
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过 1(-1 / 0 / 1)。
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的,它就是 AVL 树。如果它有 n 个节点,其高度可保持在 O ( l o g 2 n ) O(log_2 n) O(log2n),搜索时间复杂度是 O ( l o g 2 n ) O(log_2 n) O(log2n)。
2. AVL 树节点的定义
template<class T>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(const T& data)
: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
, _data(data), _bf(0)
{}
AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子
AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子
AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
T _data;
int _bf; // 该节点的平衡因子
};
3. AVL 树的插入
AVL 树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子,因此 AVL 树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL 树的插入过程可以分为两步:
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点;
- 调整节点的平衡因子。
bool Insert(const T& data)
{
// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
// ...
// 2. 新节点插入后,AVL树的平衡性可能会遭到破坏,此时就需要更新平衡因子,并检测是否破坏了AVL树的平衡性
/*
pCur插入后,pParent的平衡因子一定需要调整,在插入之前,pParent
的平衡因子分为三种情况:-1,0, 1, 分以下两种情况:
1. 如果pCur插入到pParent的左侧,只需给pParent的平衡因子-1即可
2. 如果pCur插入到pParent的右侧,只需给pParent的平衡因子+1即可
此时:pParent的平衡因子可能有三种情况:0,正负1,正负2
1. 如果pParent的平衡因子为0,说明插入之前pParent的平衡因子为正负1,插入后被调整
成0,此时满足AVL树的性质,插入成功
2. 如果pParent的平衡因子为正负1,说明插入前pParent的平衡因子一定为0,插入后被更
新成正负1,此时以pParent为根的树的高度增加,需要继续向上更新
3. 如果pParent的平衡因子为正负2,则pParent的平衡因子违反平衡树的性质,需要对其进
行旋转处理
*/
while (pParent)
{
// 更新双亲的平衡因子
if (pCur == pParent->_pLeft)
pParent->_bf--;
else
pParent->_bf++;
// 更新后检测双亲的平衡因子
if (0 == pParent->_bf)
{
break;
}
else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
{
// 插入前双亲的平衡因子是0,插入后双亲的平衡因为为1或者-1,说明以双亲为根的二叉树
// 的高度增加了一层,因此需要继续向上调整
pCur = pParent;
pParent = pCur->_pParent;
}
else
{
// 双亲的平衡因子为正负2,违反了AVL树的平衡性,需要对以pParent
// 为根的树进行旋转处理
if (2 == pParent->_bf)
{
// ...
}
else
{
// ...
}
}
}
return true;
}
4. AVL 树的旋转
如果在一棵原本是平衡的 AVL 树中插入一个新节点,可能造成不平衡,此时必须调整树的结构,使之平衡化。根据节点插入位置的不同,AVL 树的旋转分为四种:
-
新节点插入较高左子树的左侧 - 左左:右单旋
/* 上图在插入前,AVL树是平衡的,新节点插入到30的左子树(注意:此处不是左孩子)中,30左 子树增加了一层,导致以60为根的二叉树不平衡,要让60平衡,只能将60左子树的高度减少一层,右子 树增加一层,即将左子树往上提,这样60转下来,因为60比30大,只能将其放在30的右子树,而如果30有 右子树,右子树根的值一定大于30,小于60,只能将其放在60的左子树,旋转完成后,更新节点 的平衡因子即可。在旋转过程中,有以下几种情况需要考虑: 1. 30节点的右孩子可能存在,也可能不存在 2. 60可能是根节点,也可能是子树 如果是根节点,旋转完成后,要更新根节点 如果是子树,可能是某个节点的左子树,也可能是右子树 */ void _RotateR(PNode pParent) { // pSubL: pParent的左孩子 // pSubLR: pParent左孩子的右孩子,注意:该 PNode pSubL = pParent->_pLeft; PNode pSubLR = pSubL->_pRight; // 旋转完成之后,30的右孩子作为双亲的左孩子 pParent->_pLeft = pSubLR; // 如果30的左孩子的右孩子存在,更新亲双亲 if (pSubLR) pSubLR->_pParent = pParent; // 60 作为 30的右孩子 pSubL->_pRight = pParent; // 因为60可能是棵子树,因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲 PNode pPParent = pParent->_pParent; // 更新60的双亲 pParent->_pParent = pSubL; // 更新30的双亲 pSubL->_pParent = pPParent; // 如果60是根节点,根新指向根节点的指针 if (NULL == pPParent) { _pRoot = pSubL; pSubL->_pParent = NULL; } else { // 如果60是子树,可能是其双亲的左子树,也可能是右子树 if (pPParent->_pLeft == pParent) pPParent->_pLeft = pSubL; else pPParent->_pRight = pSubL; } // 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子 pParent->_bf = pSubL->_bf = 0; }
-
新节点插入较高右子树的右侧 - 右右:左单旋
实现及情况考虑可参考右单旋。
-
新节点插入较高左子树的右侧 - 左右:先左单旋再右单旋
将双旋变成单旋后再旋转,即:先对 30 进行左单旋,然后再对 90 进行右单旋,旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
// 旋转之前,60的平衡因子可能是-1/0/1,旋转完成之后,根据情况对其他节点的平衡因子进行调整 void _RotateLR(PNode pParent) { PNode pSubL = pParent->_pLeft; PNode pSubLR = pSubL->_pRight; // 旋转之前,保存pSubLR的平衡因子,旋转完成之后,需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子 int bf = pSubLR->_bf; // 先对30进行左单旋 _RotateL(pParent->_pLeft); // 再对90进行右单旋 _RotateR(pParent); if (1 == bf) pSubL->_bf = -1; else if (-1 == bf) pParent->_bf = 1; }
-
新节点插入较高右子树的左侧 - 右左:先右单旋再左单旋
参考左右双旋。
总结:
假如以 pParent 为根的子树不平衡,即 pParent 的平衡因子为 2 或者 -2,分以下情况考虑:
-
pParent 的平衡因子为 2,说明 pParent 的右子树高,设 pParent 的右子树的根为 pSubR:
- 当 pSubR 的平衡因子为 1 时,执行左单旋;
- 当 pSubR 的平衡因子为 -1 时,执行右左双旋。
-
pParent 的平衡因子为 -2,说明 pParent 的左子树高,设 pParent 的左子树的根为 pSubL:
- 当 pSubL 的平衡因子为 -1 时,执行右单旋;
- 当 pSubL 的平衡因子为 1 时,执行左右双旋。
旋转完成后,原 pParent 为根的子树高度降低,已经平衡,不需要再向上更新。
5. AVL 树的验证
AVL 树是再二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制,因此要验证 AVL 树,可以分两步:
-
验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列,就说明为二叉搜索树。
-
验证其为平衡树
-
每个节点子树高度差的绝对值不超过 1(注意节点中如果没有平衡因子);
-
节点的平衡因子是否计算正确。
int _Height(PNode pRoot); bool _IsBalanceTree(PNode pRoot) { // 空树也是AVL树 if (nullptr == pRoot) return true; // 计算pRoot节点的平衡因子:即pRoot左右子树的高度差 int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft); int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight); int diff = rightHeight - leftHeight; // 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等,或者pRoot平衡因子的绝对值超过1,则一定不是AVL树 if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1)) return false; // pRoot的左和右如果都是AVL树,则该树一定是AVL树 return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot -> _pRight); }
-
-
验证用例
-
常规场景
{ 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 }
-
特殊场景
{ 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 }
-
6. AVL 树的删除
因为 AVL 树也是二叉搜索树,可按照二叉搜索树的方式将节点删除,然后再更新平衡因子,只不过与删除不同的是,删除节点后的平衡因子更新,最差情况下一直要调整到根节点的位置。文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-848880.html
7. AVL 树的性能
AVL 树是一棵绝对平衡的二叉搜索树,其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过 1,这样可以保证查询时高效的时间复杂度,即 l o g 2 ( N ) log_2 (N) log2(N)。但是如果要对 AVL 树做一些结构修改的操作,性能非常低下,比如:插入时要维护其绝对平衡,旋转的次数比较多,更差的时在删除时,又可能一直要让旋转持续到根的位置。因此:如果需要一种查询高效且有序的数据结构,而且数据的个数为静态的(即不会改变),可以考虑 AVL 树,但一个结构经常修改,就不太适合。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-848880.html
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