正交投影的矩阵（基变换与过渡矩阵的例子）

在$n$维欧几里得空间$V$中，有子空间$W$. 如果用自然基$({\mathbf{e}}_i{)}_{1\le i\le n}$，设$W=\mathrm{span}(w_1,\dots ,w_d)(0<d<n)$. 将这个基作Schmidt正交化（并单位化），得到$W$的一个标准正交基$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_d)$. 将这个标准正交基扩充为$V$的一个基：$$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_d,{\eta }_{d+1},{\eta }_{d+2},\dots ,{\eta }_n).$$

假定从自然基到上述标准正交基的过渡矩阵为$T$: 即$$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_d,{\eta }_{d+1},\dots ,{\eta }_n)=({\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_{\mathbf{n}})T.$$由于自然基排成的矩阵是单位方阵$I_n$, 所以$T$的前$d$列是$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_d)$, 并且$T$是正交矩阵。

命题：在$V$的自然基之下，从$V$（沿着$W^{\perp }$）到$W$的正交投影的矩阵是 P W = ( η 1 , η 2 , … , η d ) ( η 1 ⊤ η 2 ⊤ ⋮ η d ⊤ ) P_W=(\eta_1, \eta_2, \ldots, \eta_d)\begin{pmatrix} \eta_1^\top \\ \eta_2^\top \\ \vdots \\ \eta_d^\top \end{pmatrix} PW​=(η1​,η2​,…,ηd​) ​η1⊤​η2⊤​⋮ηd⊤​​ ​. 而在标准正交基$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n)$之下, 从$V$到$W$的正交投影矩阵是$Q_W=\left(\begin{array}{cc}{I}_d& \\ & 0\end{array}\right)$. 有等式$Q_w=T^{-1}{P}_{W}T=T^{\top }{P}_{W}T$.

注：验证$T{Q}_W{T}^{\top }=P_W$比较容易。

例：$V={\mathbb{R}}^3,w=(1,2,3{)}^{\top },W=\mathrm{span}(w)$. 则$\eta =\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3{)}^{\top }$. 等式$T{Q}_W{T}^{\top }=P_W$是 ( 1 14 ∗ ∗ 2 14 ∗ ∗ 3 14 ∗ ∗ ) ( 1 0 0 ) ( 1 14 2 14 3 14 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ) = 1 14 ( 1 2 3 2 4 6 3 6 9 ) . \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{14}} & * & * \\ \frac{2}{\sqrt{14}} & * & * \\ \frac{3}{\sqrt{14}} & * & * \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & & \\ & 0 & \\ & & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{14}} & \frac{2}{\sqrt{14}} & \frac{3}{\sqrt{14}} \\ * & * & * \\ * & * & * \end{pmatrix}=\frac{1}{14}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}. ​14 ​1​14 ​2​14 ​3​​∗∗∗​∗∗∗​ ​ ​1​0​0​ ​ ​14 ​1​∗∗​14 ​2​∗∗​14 ​3​∗∗​ ​=141​ ​123​246​369​ ​.文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-849381.html

到了这里，关于正交投影的矩阵（基变换与过渡矩阵的例子）的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！