数学分析(十七)-多元函数微分学4-泰勒公式与极值问题4-极值问题2：充分条件【 f在稳定点P₀处二阶连续偏导数的(Hesse) 黑塞矩阵：①正定矩阵➔极小值；②负定矩阵➔极大值；③不定矩阵➔无极值】-Toy模板网

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为了讨论二元函数 $f$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得极值的充分条件, 我们假定 $f$ 具有二阶连续偏导数, 并记

$\boldsymbol{H}_{f}\left(P_{0}\right)=\left(\begin{array}{ll} f_{x x}\left(P_{0}\right) & f_{x y}\left(P_{0}\right) \\ f_{y x}\left(P_{0}\right) & f_{y y}\left(P_{0}\right) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} f_{x x} & f_{x y} \\ f_{y x} & f_{y y} \end{array}\right)_{P_{0}}$

它称为 $f$ 在 $P_{0}$ 的黑塞 (Hesse) 矩阵 ${}^{①}$ 。

定理 17. 11 (极值充分条件)

设二元函数 $f$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域 $U\left(P_{0}\right)$ 上具有二阶连续偏导数, 且 $P_{0}$ 是 $f$ 的稳定点. 则：

当 $\boldsymbol{H}_{f}\left(P_{0}\right)$ 是正定矩阵时, $f$ 在点 $P_{0}$ 取得极小值;
当 $\boldsymbol{H}_{f}\left(P_{0}\right)$ 是负定矩阵时, $f$ 在点 $P_{0}$ 取得极大值;
当 $\boldsymbol{H}_{f}\left(P_{0}\right)$ 是不定矩阵时, $f$ 在点 $P_{0}$ 不取极值.

证
由 $f$ 在点 $P_{0}$ 的二阶泰勒公式, 并注意到条件 $f_{x}\left(P_{0}\right)=f_{y}\left(P_{0}\right)=0$ , 有

$\begin{aligned} & f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right) \\ = & \cfrac{1}{2}(\Delta x, \Delta y) \boldsymbol{H}_{f}\left(P_{0}\right)(\Delta x, \Delta y)^{\mathrm{T}}+o\left(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}\right) . \end{aligned}$

由于 $\boldsymbol{H}_{f}\left(P_{0}\right)$ 正定, 所以对任何 $(\Delta x, \Delta y) \neq(0,0)$ , 恒使二次型

$Q(\Delta x, \Delta y)=(\Delta x, \Delta y) \boldsymbol{H}_{f}\left(P_{0}\right)(\Delta x, \Delta y)^{T}>0 .$

因此存在一个与 $\Delta x, \Delta y$ 无关的正数 $q^{②}$ ,使得

$Q(\Delta x, \Delta y) \geqslant 2 q\left(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}\right) .$

(1) 关于黑基矩阵的一般形式,将在第二十三章黑介绍.
(2) 因为 $Q(\Delta x, \Delta y) /\left(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}\right)=(u, v) \boldsymbol{H}_{f}\left(P_{6}\right)(u, v)^{T}=\Phi(u, v)$ , 其中
$u=\Delta x / \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}, \quad v=\Delta y / \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} .$ 文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-849646.html

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