基础线性代数——千足虫-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了基础线性代数——千足虫。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

[SDOI2010] 外星千足虫

题目来源

题目描述

公元 $2333$ 年 $2$ 月 $3$ 日，在经历了 $17$ 年零 $3$ 个月的漫长旅行后，“格纳格鲁一号”载人火箭返回舱终于安全着陆。此枚火箭由美国国家航空航天局（NASA）研制发射，行经火星、金星、土卫六、木卫二、谷神星、“张衡星”等 $23$ 颗太阳系星球，并最终在小行星“杰森星”探寻到了地外生命。宇航员在“杰森星”地表岩层下 $45.70$ 米位置发现一批珍贵的活体生命样本，并将其带回检测。

在带回的活体样本中，最吸引人的当属这些来自外星的千足虫了。这些虫子身躯纤长，身体分为若干节。受到触碰时，会将身体卷曲成圆环形，间隔一段时间后才会复原活动。

有趣的还不止如此。研究人员发现，这些虫子的足并不像地球千足虫成对出现、总共偶数条——它们每节身体下方都有着不定数量的足，但足的总数一定是奇数条！

虽然从外观难以区分二者，但通过统计足的数目，科学家们就能根据奇偶性判断出千足虫所属的星球。

基础线性代数——千足虫,洛谷算法题合集,线性代数,算法

作为 J 国派去 NASA 的秘密间谍，你希望参加这次研究活动以掌握进一步的情报，而 NASA 选拔的研究人员都是最优秀的科学家。于是 NASA 局长 Charles Bolden 出了一道难题来检测你的实力：

现在你面前摆有 $1\ldots N$ 编号的 $N$ 只千足虫，你的任务是鉴定每只虫子所属的星球，但不允许亲自去数它们的足。

Charles 每次会在这 $N$ 只千足虫中选定若干只放入“昆虫点足机”（the Insect Feet Counter, IFC）中，“点足机”会自动统计出其内所有昆虫足数之和。Charles 会将这个和数 $\bmod$ $2$ 的结果反馈给你，同时告诉你一开始放入机器中的是哪几只虫子。

他的这种统计操作总共进行 $M$ 次，而你应当尽早得出鉴定结果。

基础线性代数——千足虫,洛谷算法题合集,线性代数,算法

假如在第 $K$ 次统计结束后，现有数据就足以确定每只虫子的身份，你就还应将这个 $K$ 反馈给 Charles，此时若 $K < M$ ，则表明那后 $M - K$ 次统计并非必须的。

如果根据所有 $M$ 次统计数据还是无法确定每只虫子身份，你也要跟 Charles 讲明：就目前数据会存在多个解。

输入格式

第一行是两个正整数 $N, M$ 。

接下来 $M$ 行，按顺序给出 Charles 这 $M$ 次使用“点足机”的统计结果。每行包含一个 $01$ 串和一个数字，用一个空格隔开。 $01$ 串按位依次表示每只虫子是否被放入机器：如果第 $i$ 个字符是 $0$ 则代表编号为 $i$ 的虫子未被放入， $1$ 则代表已被放入。后面跟的数字是统计的昆虫足数 $\bmod$ $2$ 的结果。

由于 NASA 的实验机器精确无误，保证前后数据不会自相矛盾。即给定数据一定有解。

输出格式

在给定数据存在唯一解时有 $N + 1$ 行，第一行输出一个不超过 $M$ 的正整数 $K$ ，表明在第 $K$ 次统计结束后就可以确定唯一解；接下来N行依次回答每只千足虫的身份，若是奇数条足则输出 ?y7M#（火星文），偶数条足输出 Earth。

如果输入数据存在多解，输出 Cannot Determine。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

4
Earth
?y7M#
Earth

样例 #2

样例输入 #2

样例输出 #2

Cannot Determine

提示

评分标准

对于每一个测试点，如果你的输出文件与答案文件完全相同，该测试点得满分。

否则，对于存在唯一解的测试点，如果你正确回答所有千足虫的身份，将得到 $50\%$ 的分数；

其他情况，该测试点得零分。

数据规模和约定

对于 $20\%$ 的数据，满足 $N=M\leq 20$ ；

对于 $40\%$ 的数据，满足 $N=M\leq 500$ ；

对于 $70\%$ 的数据，满足 $N\leq500$ ， $M\leq 10^3$ ；

对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\leq N\leq 10^3$ ， $1\leq M\leq 2\times 10^3$ 。

设计思路

通过阅读本道题，我可以知道：
基础线性代数——千足虫,洛谷算法题合集,线性代数,算法
其中，模2意义下的线性方程组的求解要比一般情况简单很多。容易发现，这恰好对应位运算中的异或操作。于是上面这个线性方程组就转化为异或方程组。综上所述，本道题的本质就是高斯消元——异或版（我用的是化成行阶梯的形式），因此我们可以直接套模板（模板我已经放到后面了），细节：读入的时候得注意01串得用char一个一个读，要不然程序认为101是个数字文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-849685.html

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;
//这里面有几行是多余的，可以不用考虑
const int N = 2e3+10;

int w[N][N];
int n,m;

int guass(){
    int r=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int max=r;// 前 r-1 已经完成操作
        for(int k=r;k<=m;k++){
            if(w[k][i]){
                max=k;
                break;
            }
        }
        if(!w[max][i])continue;
        if(max!=r)swap(w[max],w[i]);
        
        for(int k=1;k<=m;k++){
            if(k==r)continue;
            if(w[k][i]){
                for(int j=i;j<=n+1;j++){
                    w[k][j]^=w[r][j];
                }
            }
        }
        r++;
    }
    
    if(r<n+1){
        for(int i=r;i<=n;i++){
            if(w[i][n+1])return -1;
        }
    }
    
    return 0;
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            char a;
            cin>>a;
            w[i][j]=a-'0';
        }
        cin>>w[i][n+1];
        w[i][0]=i;
    }
    
    int t=guass();
    if(t==-1){
        puts("Cannot Determine");
    }else{
        int ans=w[1][0];
        for(int i=1;i<=n;i++){
            ans=max(ans,w[i][0]);
        }
        
        cout<<ans<<endl;
        
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(w[i][n+1]){//外星
                cout<<"?y7M#"<<endl;
            }else{
                cout<<"Earth"<<endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}

模板1（异或版）

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 110;

int w[N][N];
int n;

int guass(){
    
    int r=1;//记录有多少行是非零的，就是目前已经完成 多少未知数的列清零了
    for(int i=1;i<=n;i++){
        
        int max=r;// 前 r-1 已经完成操作
        
        for(int k=r;k<=n;k++){
            if(w[k][i]){
                max=k;
                break;
            }
        }
        
        if(!w[max][i])continue; //如果最大的值都是 零。就说明当前这列没有1，也就是说没有这个 xi 未知数
        if(max!=r)swap(w[max],w[r]);
        for(int k=1;k<=n;k++){
            if(k==r)continue;
            if(w[k][i]){
                for(int j=i;j<=n+1;j++){
                    w[k][j]^=w[r][j];
                }
            }
        }
        
        r++;
    }
    if(r<n+1){
        
        for(int i=r;i<=n;i++){
            if(w[i][n+1])return 0;
        }
        
        return 1;
    }
    
    
    return 2;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
            cin>>w[i][j];
            
    int t=guass();
    
    if(t==0)puts("No solution");
    else if(t==1)puts("Multiple sets of solutions");
    else{
        
        for(int i=1;i<=n;i++){
            printf("%d\n",w[i][n+1]);
        }
    }
    
    return 0;
}

模板2（线性版）

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 110;
const double eps=1e-8;

double w[N][N];
int n;

int guass(){//主元所在行不变，主元所在列消成0
    
    int t=1;//计数器
    for(int i=1;i<=n;i++){//先遍历每列每行（主元）=>对角线
        int r=i;//r是行
        for(int j=i;j<=n;j++){//找非0行，目的为了对角线上不为0
            if(abs(w[j][i])>eps){
                r=j;
                break;
            }
        }
        
        if(r!=i)swap(w[r],w[i]);//列换
        if(abs(w[i][i])<eps)continue;//无解
        
        for(int k=1;k<=n;k++){//对角化
            if(k==i)continue;//本行无需
            double t=w[k][i]/w[i][i];//目的是将主元所在的下面所有列消成0
            for(int j=i;j<=n+1;j++){
                w[k][j]-=t*w[i][j];
            }
        }
        t++;
    }
    
    if(t<n+1){
        for(int i=t;i<=n;i++){
            if(abs(w[i][n+1])>eps)return 0;
            return 1;
        }
        
    }
    
    //结束
    for(int i=1;i<=n;i++){
        
        w[i][n+1]/=w[i][i];
    }
    
    
    return 2;//存在唯一解
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n+1;j++){
            cin>>w[i][j];
        }
    }
    
    int t=guass();
    
    if(t==0)puts("No solution");
    else if(t==1)puts("Infinite group solutions");
    else{
        for(int i=1;i<=n;i++){
            printf("%.2lf\n",w[i][n+1]);
        }
    }
    return 0;
}

到了这里，关于基础线性代数——千足虫的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！