本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
矩阵的满秩分解
定义：矩阵的左逆、右逆
设
A
A
A 是
m
×
n
m\times n
m×n 矩阵
- 若 r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n，即 A A A 列满秩，则存在秩为 n n n 的 n × m n\times m n×m 行满秩矩阵 B B B，使得 B A = I n BA=I_n BA=In，矩阵 B B B 称为 A A A 的左逆
- 若 r ( A ) = m r(A)=m r(A)=m，即 A A A 行满秩，则存在秩为 m m m 的 n × m n\times m n×m 列满秩矩阵 C C C，使得 A C = I m AC=I_m AC=Im，矩阵 C C C 称为 A A A 的右逆
证明思路
结论1：由相抵标准型理论，存在可逆阵
P
,
Q
P,Q
P,Q，使得
P
A
Q
=
(
I
n
O
)
⇒
(
I
n
∣
O
)
P
A
Q
=
I
n
⇒
(
I
n
∣
O
)
P
A
=
Q
−
1
⇒
Q
(
I
n
∣
O
)
P
A
=
I
n
PAQ=\begin{pmatrix} I_n\\O\\ \end{pmatrix}\Rightarrow (I_n| O)PAQ=I_n\\\Rightarrow (I_n |O)PA=Q^{-1}\Rightarrow Q(I_n| O)PA=I_n
PAQ=(InO)⇒(In∣O)PAQ=In⇒(In∣O)PA=Q−1⇒Q(In∣O)PA=In结论 2类似
定义：矩阵的满秩分解
设
A
A
A 是
m
×
n
m\times n
m×n 矩阵，其秩为
r
r
r
则存在秩为
r
r
r 的
m
×
r
m\times r
m×r 列满秩矩阵
B
B
B，和秩为
r
r
r 的
r
×
n
r\times n
r×n 行满秩矩阵
C
C
C，使得
A
=
B
C
A=BC
A=BC这称为
A
A
A 的满秩分解
证明思路
考虑
A
A
A 的相抵标准型，容易得到
A
=
P
(
I
r
O
O
O
)
Q
=
P
(
I
r
O
)
(
I
r
O
)
Q
A=P\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}Q=P\begin{pmatrix} I_r\\O\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_r&O\\ \end{pmatrix}Q
A=P(IrOOO)Q=P(IrO)(IrO)Q
命题：满秩分解的唯一性
若
A
A
A 有两个满秩分解
A
=
B
1
C
1
=
B
2
C
2
A=B_1C_1=B_2C_2
A=B1C1=B2C2，则存在
r
r
r 阶非异阵
P
P
P，使得
B
2
=
B
1
P
,
C
2
=
P
−
1
C
1
B_2=B_1P,C_2=P^{-1}C_1
B2=B1P,C2=P−1C1
证明思路
考虑
B
2
B_2
B2 的左逆
P
P
P 和
C
2
C_2
C2 的右逆
Q
Q
Q，注意到
B
2
=
B
2
(
C
2
Q
)
=
(
B
2
C
2
)
Q
=
(
B
1
C
1
)
Q
=
B
1
(
C
1
Q
)
B_2=B_2(C_2Q)=(B_2C_2)Q=(B_1C_1)Q=B_1(C_1Q)
B2=B2(C2Q)=(B2C2)Q=(B1C1)Q=B1(C1Q)
C
2
=
(
P
B
2
)
C
2
=
P
(
B
2
C
2
)
=
P
(
B
1
C
1
)
=
(
P
B
1
)
C
1
C_2=(PB_2)C_2=P(B_2C_2)=P(B_1C_1)=(PB_1)C_1
C2=(PB2)C2=P(B2C2)=P(B1C1)=(PB1)C1
(
P
B
1
)
(
C
1
Q
)
=
P
(
B
1
C
1
)
Q
=
P
(
B
2
C
2
)
Q
=
(
P
B
2
)
(
C
2
Q
)
=
I
r
(PB_1)(C_1Q)=P(B_1C_1)Q=P(B_2C_2)Q=(PB_2)(C_2Q)=I_r
(PB1)(C1Q)=P(B1C1)Q=P(B2C2)Q=(PB2)(C2Q)=Ir
命题：满秩分解的几何意义
下列等价：
- A = B C A=BC A=BC 是满秩分解
- B B B 的 r r r 个列向量是 A A A 的 n n n 个列向量所张成的线性空间的一组基
- C C C 的 r r r 个行向量是 A A A 的 m m m 个行向量所张成的线性空间的一组基
证明思路
将
A
=
B
C
A=BC
A=BC 写成对应线性方程组的形式即可看出
命题：幂等矩阵关于满秩分解的刻画
设
n
n
n 阶方阵
A
A
A，其秩为
r
r
r，则
A
A
A 是幂等矩阵当且仅当存在秩为
r
r
r 的
n
×
r
n\times r
n×r 矩阵
S
S
S 和秩为
r
r
r 的
r
×
n
r\times n
r×n 矩阵
T
T
T，使得
A
=
S
T
,
T
S
=
I
r
A=ST,TS=I_r
A=ST,TS=Ir
证明思路
充分性显然，必要性：考虑
A
A
A 的相抵标准型
A
=
P
(
I
r
O
O
O
)
Q
A=P\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}Q
A=P(IrOOO)Q由
A
2
=
A
A^2=A
A2=A 得到
(
I
r
O
O
O
)
=
(
I
r
O
O
O
)
Q
P
(
I
r
O
O
O
)
\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}QP\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}
(IrOOO)=(IrOOO)QP(IrOOO)则只需令
S
=
P
(
I
r
O
O
O
)
(
I
r
O
)
,
T
=
(
I
r
O
)
(
I
r
O
O
O
)
Q
S=P\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_r\\O\\ \end{pmatrix},T=\begin{pmatrix} I_r&O\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix}Q
S=P(IrOOO)(IrO),T=(IrO)(IrOOO)Q
推论
设
A
A
A 是
n
n
n 阶幂等矩阵，则
t
r
(
A
)
=
r
(
A
)
tr(A)=r(A)
tr(A)=r(A)
证明
t
r
(
A
)
=
t
r
(
S
T
)
=
t
r
(
T
S
)
=
t
r
(
I
r
)
=
r
=
r
(
A
)
tr(A)=tr(ST)=tr(TS)=tr(I_r)=r=r(A)
tr(A)=tr(ST)=tr(TS)=tr(Ir)=r=r(A)文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-850061.html
参考书：《高等代数学》谢启鸿 姚慕生 吴泉水 编著文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-850061.html
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