- 掌握ARMA模型检验的内容和方法
- 理解模型优化的SBC准则和BIC准则的思想与原理，能综合运用上述准则选择相对最优拟合模型
训练数据在文末！！！
练习1、根据某公司过去三年每月缴纳的税收金额（行数据）（题目1数据.txt），求
（1）绘制序列时序图，判断序列的平稳性与纯随机性；
（2）绘制序列的样本自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF），根据相关性特征，尝试选择多个（例如AR，MA）模型拟合该序列的发展，并分别求出各个拟合模型的口径；
（3）对上述选定的拟合模型进行模型的检验；
（4）综合运用SBC准则和BIC准则，选出相对最优模型。
data <- scan("F:/时间序列分析/实验7/习题数据/题目1数据.txt")
x <- ts(data,start=c(2019,1),frequency = 12)
#原序列时序图
plot(x)
#原序列白噪声检验
for(i in 1:2) print(Box.test(x,type = "Ljung-Box",lag = 6*i))
#原序列绘制自相关图和偏自相关图
par(mfrow = c(1,2))
acf(x)
pacf(x)
#模型参数估计，确定模型的口径
#①选择MA(1)模型时模型的口径
x.fit1 <- arima(x,order = c(0,0,1),method = "ML")
x.fit1
#②选择AR(2)模型时模型的口径
x.fit2 <- arima(x,order = c(2,0,0),method = "ML")
x.fit2
#模型检验
#MA(1)模型检验
ts.diag(x.fit1)
t = abs(x.fit1$coef)/sqrt(diag(x.fit1$var.coef))
pt(t,length(x)-length(x.fit1$coef),lower.tail = F)
#AR(3)模型检验
ts.diag(x.fit2)
t = abs(x.fit2$coef)/sqrt(diag(x.fit2$var.coef))
pt(t,length(x)-length(x.fit2$coef),lower.tail = F)
#模型优化，比较各模型的AIC值和BIC值
AIC(x.fit1)
AIC(x.fit2)
BIC(x.fit1)
BIC(x.fit2)
data.frame(AIC(x.fit1),AIC(x.fit2),BIC(x.fit1),BIC(x.fit2))
结果分析：
（1）时序图：从时序图可以看出，该序列在常数9附近波动，且波动有界。认为该序列是平稳序列。
白噪声检验：延迟6阶和延迟12阶的LB统计量的P值都小于α=0.05，则拒绝原假设，认为序列不是白噪声序列。
Box-Ljung test
data: x
X-squared = 25.658, df = 6, p-value = 0.0002578
Box-Ljung test
data: x
X-squared = 31.566, df = 12, p-value = 0.001614
（2）①从自相关图看出，除了1阶自相关系数在2倍标准差范围之外，之后几乎95%的自相关系数都突然衰减到2倍标准差范围之内。判定为1阶截尾；
②从偏自相关图看出，除了1-２阶偏自相关系数在2倍标准差范围之外，之后几乎95%的自相关系数都突然衰减到2倍标准差范围之内。判定为2阶截尾；
综上所述，序列呈现出自相关系数1阶截尾的特性，偏自相关系数2阶截尾的特性，初步确定拟合模型为MA(1)模型或MA(2)模型。
ACF图和PACF图：
确定模型口径：
MA(1)模型口径：，
Call:
arima(x = x, order = c(0, 0, 1), method = "ML")
Coefficients:
ma1 intercept
1.0000 9.2118
s.e. 0.0798 0.2792
sigma^2 estimated as 0.7205: log likelihood = -46.99, aic = 99.97
AR(2)模型口径：，
该AR(2)模型的等价表达为：
，
Call:
arima(x = x, order = c(2, 0, 0), method = "ML")
Coefficients:
ar1 ar2 intercept
1.0276 -0.5412 9.1154
s.e. 0.1524 0.1738 0.2945
sigma^2 estimated as 0.7977: log likelihood = -47.65, aic = 103.31
（3）MA(1)模型检验：
模型显著性检验：因为4-24阶延迟下LB统计量的P值都显著大于0.05，接受原假设，可以认为该拟合模型的残差序列属于白噪声序列，即该拟合模型显著有效。残差Q-Q图显示，数据点基本围绕在基准线附近，不能拒绝残差项是正态的假设。
模型参数显著性检验：t统计量的P值小于α＝0.05，拒绝原假设，故认为两个参数均显著非零。
ma1 intercept
1.363877e-14 1.045188e-27
AR(2)模型检验：
模型显著性检验：因为4-24阶延迟下LB统计量的P值都显著大于0.05，接受原假设，可以认为该拟合模型的残差序列属于白噪声序列，即该拟合模型显著有效。残差Q-Q图显示，数据点基本围绕在基准线附近，不能拒绝残差项是正态的假设。
模型参数显著性检验：t统计量的P值小于α＝0.05，拒绝原假设，故认为两个参数均显著非零。
ar1 ar2 intercept
5.523818e-08 1.901274e-03 2.922119e-26
（4）模型优化：
用AIC准则和BIC准则评判，MA(1)和AR(2)两个拟合模型的相对优势，最小信息量检验显示，无论是使用AIC准则还是使用BIC准则，MA(1)模型都要优于AR(2)模型，在本题中MA(1)模型是相对最优模型。
AIC.x.fit1. AIC.x.fit2. BIC.x.fit1. BIC.x.fit2.
1 99.9722 103.3087 104.7228 109.6428
练习2、根据某城市过去45年中每年的人口死亡率（行数据）（题目2数据.txt），求：
（1）绘制序列时序图，判断序列的平稳性与纯随机性；
（2）绘制序列的样本自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF），根据相关性特征，尝试选择多个（例如AR，MA，ARMA）模型拟合该序列的发展；
（3）对上述选定的拟合模型进行模型的检验；
（4）综合运用SBC准则和BIC准则，选出相对最优模型。
data <- scan("F:/时间序列分析/实验7/习题数据/题目2数据.txt")
x <- ts(data,start=1977)
#原序列时序图
plot(x)
#原序列白噪声检验
for(i in 1:2) print(Box.test(x,type = "Ljung-Box",lag = 6*i))
#原序列绘制自相关图和偏自相关图
par(mfrow = c(1,2))
acf(x)
pacf(x)
#模型参数估计，确定模型的口径
#①选择MA(1)模型时模型的口径
x.fit1 <- arima(x,order = c(0,0,1),method = "ML")
x.fit1
#③选择AR(2)模型时模型的口径
x.fit2 <- arima(x,order = c(2,0,0),method = "ML")
x.fit2
#③选择ARMA(2,1)，1模型时模型的口径
x.fit3 <- arima(x,order = c(2,0,1),method = "ML")
x.fit3
#模型检验
#MA(1)模型检验
ts.diag(x.fit1)
t = abs(x.fit1$coef)/sqrt(diag(x.fit1$var.coef))
pt(t,length(x)-length(x.fit1$coef),lower.tail = F)
#AR(2)模型检验
ts.diag(x.fit2)
t = abs(x.fit2$coef)/sqrt(diag(x.fit2$var.coef))
pt(t,length(x)-length(x.fit2$coef),lower.tail = F)
#ARMA(2,1)模型检验
ts.diag(x.fit3)
t = abs(x.fit3$coef)/sqrt(diag(x.fit3$var.coef))
pt(t,length(x)-length(x.fit3$coef),lower.tail = F)
#模型优化，比较各模型的AIC值和BIC值
AIC(x.fit1)
AIC(x.fit2)
AIC(x.fit3)
BIC(x.fit1)
BIC(x.fit2)
BIC(x.fit3)
data.frame(AIC(x.fit1),AIC(x.fit2),AIC(x.fit3),BIC(x.fit1),BIC(x.fit2),BIC(x.fit3))
结果分析：
（1）时序图：从时序图可以看出，该序列在常数5附近波动，且波动有界。认为该序列是平稳序列。
白噪声检验：延迟6阶的LB统计量的P值大于α=0.05，但延迟12阶的LB统计量的P值小于α=0.05，则拒绝原假设，认为序列不是白噪声序列。
Box-Ljung test
data: x
X-squared = 10.609, df = 6, p-value = 0.1013
Box-Ljung test
data: x
X-squared = 23.893, df = 12, p-value = 0.02104
（2）①从自相关图看出，自相关系数呈现不规则地衰减到零值附近。判定为拖尾；
②从偏自相关图看出，偏自相关系数呈现出对数函数单调收敛到零值附近。判定为拖尾特性；
综上所述，序列呈现出自相关系数拖尾的特性，偏自相关系数拖尾的特性，初步确定拟合模型为ARMA(2，1)模型。
ACF图和PACF图：
确定模型口径：
MA(1)模型口径：，
Call:
arima(x = x, order = c(0, 0, 1), method = "ML")
Coefficients:
ma1 intercept
0.4495 4.9444
s.e. 0.1203 0.2020
sigma^2 estimated as 0.8857: log likelihood = -61.23, aic = 128.47
AR(2)模型口径：，
该AR(2)模型的等价表达为：
，
Call:
arima(x = x, order = c(2, 0, 0), method = "ML")
Coefficients:
ar1 ar2 intercept
0.4661 -0.3259 4.9569
s.e. 0.1412 0.1394 0.1597
sigma^2 estimated as 0.8383: log likelihood = -60.06, aic = 128.12
ARMA(2，1)模型时模型的口径为：
，
该ARMA(2，1)模型的等价表达为：
，
Call:
arima(x = x, order = c(2, 0, 1), method = "ML")
Coefficients:
ar1 ar2 ma1 intercept
0.5741 -0.3651 -0.1221 4.9586
s.e. 0.3617 0.1740 0.3847 0.1527
sigma^2 estimated as 0.8363: log likelihood = -60.01, aic = 130.02
（3）MA(1)模型检验：
模型显著性检验：因为4-24阶延迟下LB统计量的P值都显著大于0.05，接受原假设，可以认为该拟合模型的残差序列属于白噪声序列，即该拟合模型显著有效。残差Q-Q图显示，数据点基本围绕在基准线附近，不能拒绝残差项是正态的假设。
模型参数显著性检验：t统计量的P值小于α＝0.05，拒绝原假设，故认为两个参数均显著非零。
ma1 intercept
2.740853e-04 3.548356e-27
AR(2)模型检验：
模型显著性检验：因为4-24阶延迟下LB统计量的P值都显著大于0.05，接受原假设，可以认为该拟合模型的残差序列属于白噪声序列，即该拟合模型显著有效。残差Q-Q图显示，数据点基本围绕在基准线附近，不能拒绝残差项是正态的假设。
模型参数显著性检验：t统计量的P值小于α＝0.05，拒绝原假设，故认为三个参数均显著非零。
ar1 ar2 intercept
9.847737e-04 1.212639e-02 6.817368e-31
ARMA(2，1)模型检验：
模型显著性检验：因为4-24阶延迟下LB统计量的P值都显著大于0.05，接受原假设，可以认为该拟合模型的残差序列属于白噪声序列，即该拟合模型显著有效。残差Q-Q图显示，数据点基本围绕在基准线附近，不能拒绝残差项是正态的假设。
模型参数显著性检验：只有AR(2)和常数项的t统计量的P值小于α＝0.05，拒绝原假设，故认为只有AR(2) 和常数项的参数显著非零。
ar1 ar2 ma1 intercept
6.006193e-02 2.103146e-02 3.762491e-01 3.541855e-31
（4）模型优化：
用AIC准则和BIC准则评判，MA(1)、AR(2)和ARMA(2,1)三个拟合模型的相对优势，最小信息量检验显示，使用AIC准则时AR(2)模型相对较优，使用BIC准则，MA(1)模型相对较优。
AIC.x.fit1
AIC.x.fit2
AIC.x.fit3
BIC.x.fit1
BIC.x.fit2
BIC.x.fit3
1
128.4692
128.1235
130.0208
133.8892
135.3502
139.0541
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