灰狼优化算法（GWO）-Toy模板网

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一、背景知识

灰狼优化算法(Grey Wolf Optimizer, GWO)，由澳大利亚格里菲斯大学学者Mirjalili等人于2014年提出来的一种群智能优化算法。灵感来自于灰狼群体捕食行为。GWO算法模拟了自然界中灰狼的领导等级和狩猎机制。将灰狼分为四种类型，用来模拟等级阶层。此外，还模拟了寻找猎物、包围猎物和攻击猎物三个主要阶段。

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图1 灰狼等级分层

灰狼群一般分为4个等级：处于第一等级的灰狼是领头狼，用α表示，它们主要负责各类决策，然后将决策下达至整个种群；处于第二阶级的灰狼用β表示，称为从属狼，用于辅助α狼制定决策或其他种群活动；处于第三阶段的灰狼用δ表示，侦察狼、守卫狼、老狼和捕食狼都是这一类。处于第四等级的灰狼用ω表示，它们在灰狼群中扮演了"替罪羊"的角色（好惨），同时它们必须要屈服于其他等级的狼。

二、算法原理

　　GWO 优化过程包含了灰狼的社会等级分层、跟踪、包围和攻击猎物等步骤：

（1）社会等级分层

依据上述灰狼等级制度，可以对灰狼的社会等级进行数学建模，认为最合适的解是α，那么第二和第三最优解分别表示为β和δ，而剩余其他解都假定为ω。在GWO中，通过α、β和δ来导引捕食（优化），ω听从于这三种狼。

（2）包围猎物

灰狼在搜索猎物时会逐渐地接近猎物并包围它，其包围猎物的数学模型为：

（1）

$灰狼优化算法,算法,数学建模$ （2）

其中，X 表示灰狼的位置；t 为当前迭代次数；Xp表示猎物的位置；D表示灰狼与猎物之间的距离，其计算方式见公式(2)。 A 和 C 是两个协同系数向量, 其计算见公式(3)和公式(4)。

（3）

（4）

式（3）中，向量A用于模拟灰狼对猎物的攻击行为，它的取值收到a的影响。a是收敛因子，其是一个平衡GWO勘探与开发能力的关键参数，在整个迭代过程中，a由2降到0。

（3）狩猎行为

灰狼能够识别猎物的位置并包围它们。灰狼具有识别潜在猎物（最优解）位置的能力，当灰狼识别出猎物的位置后，β 和 δ 在 α 的带领下指导狼群包围猎物。在优化问题的决策空间中，我们对最佳解决方案（猎物的位置）并不了解。因此，为了模拟灰狼的狩猎行为，我们假设 α ，β 和 δ 具有较强识别潜在猎物位置的能力。因此，在每次迭代过程中，保留当前种群中的最好三只灰狼（ α、β、δ），然后根据它们的位置信息来更新其它搜索代理（包括 ω）的位置。

灰狼个体跟踪猎物位置的数学模型描述如下：

（5）

其中，，，分别表示α ，β ，δ 与其他个体间的距离。，，分别代表α ，β ，δ的当前位置，，，是随机向量，是当前灰狼的位置。当｜A｜＞１时，灰狼之间尽量分散在各区域并搜寻猎物。当｜A｜＜１时，灰狼将集中捜索某个或某些区域的猎物。

（6）

$灰狼优化算法,算法,数学建模$ （7）

式(6)分别定义了狼群中 ω 个体朝向 α ，β 和 δ 前进的步长和方向，式(7)定义了 ω 的最终位置。

（4）攻击猎物

当猎物停止移动时，灰狼通过攻击来完成狩猎过程。为了模拟逼猎物，a的值被逐渐减小，因此 A ⃗的波动范围也随之减小。换句话说，在迭代过程中，当 a 的值从2线性下降到0时，其对应的 A 的值也在区间[-a,a]内变化。如图a所示，当 A的值位于区间内时，灰狼的下一位置可以位于其当前位置和猎物位置之间的任意位置。当∣A ∣ < 1 时，狼群向猎物发起攻击（陷入局部最优）。

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（a）（b）

（5）寻找猎物

灰狼根据 α ,β 和 δ 的位置来搜索猎物。灰狼在寻找猎物时彼此分开，然后聚集在一起攻击猎物。对于分散模型的建立，通过｜A｜＞１使其捜索代理远离猎物，这种搜索方式使 GWO 能进行全局搜索，强调了勘探（探索）并允许 GWO 算法全局搜索最优解。如图b所示，∣A ∣ > 1 强迫灰狼与猎物（局部最优）分离，希望找到更合适的猎物（全局最优）。GWO 算法中的另一个搜索系数是Ｃ。从2.2中的公式可知，Ｃ向量是在区间范围［０，２］上的随机值构成的向量，此系数为猎物提供了随机权重，以便増加（｜Ｃ｜＞１）或减少（｜Ｃ｜＜１）。这有助于 GWO 在优化过程中展示出随机搜索行为，以避免算法陷入局部最优。值得注意的是，Ｃ并不是线性下降的，Ｃ在迭代过程中是随机值，该系数有利于算法跳出局部，特别是算法在迭代的后期显得尤为重要。这样，从最初的迭代到最终的迭代中，它都提供了决策空间中的全局搜索。在算法陷入了局部最优并且不易跳出时，C的随机性在避免局部最优方面发挥了非常重要的作用，尤其是在最后需要获得全局最优解的迭代中。