[第五章]图论&&BFS-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了[第五章]图论&&BFS。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

本专栏内容为：算法学习专栏，分为优选算法专栏，贪心算法专栏，动态规划专栏以及递归，搜索与回溯算法专栏四部分。通过本专栏的深入学习，你可以了解并掌握算法。

💓博主csdn个人主页：小小unicorn
⏩专栏分类：算法从入门到精通
🚚代码仓库：小小unicorn的代码仓库🚚
🌹🌹🌹关注我带你学习编程知识

献给阿尔吉侬的花束：

[第五章]图论&&BFS,算法专栏,蓝桥杯训练营,图论,宽度优先,算法

算法原理：

用 a[N][N] 接收地图。
dis[N][N] 存储到每个点的路径长度。

从起点出发，广度优先遍历地图：

起点入队。
如果队列非空，一直执行下面语句：

队头出队。
遍历队头的上下左右四个方向：如果是 ‘.’ 走过去，并且该位置入队，该点对应的dis值更新为队头的dis + 1，该点更新为’#',表示走过了。如果是 ‘#’ 不做处理，如果是 ‘E’,走到了终点，输出该点对应的 dis 值。

如果队列为空，还没有找到终点，则无法到达，输出 oop!。

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 210;

char a[N][N];
int dis[N][N];

void bfs(PII start)
{
    queue<PII> q;
    q.push(start);//队头队，对应步骤1
    while(!q.empty())
    {
        PII u = q.front();
        q.pop();
        int dx[4] = {-1, 0, 1, 0};
        int dy[4] = {0, 1, 0 ,-1};
        for(int i = 0; i < 4; i++)//遍历四个方向，对应步骤2
        {
            int x = u.first + dx[i];
            int y = u.second + dy[i];
            
            if(a[x][y] == '#') continue;//如果是'#',不做任何处理
            if(a[x][y] == '.')//如果是 '.'，更新对应内容
            {
                dis[x][y] = dis[u.first][u.second] + 1;
                a[x][y] = '#';
                q.push({x, y});
            }
            if(a[x][y] == 'E')//如果是'E'，找到了，输出
            {
                cout << dis[u.first][u.second] + 1 << endl;
                return;
            }
        }
    }
    cout << "oop!" << endl;//没有找到

}

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        memset(a, '#', sizeof(a));//初始化地图，各个点都是墙。
        memset(dis, 0, sizeof(dis));//初始化dis
        int n,m;
        PII start;
        cin >> n >> m;
        for(int i = 1; i <= n; i++)//从第一行存储地图，因为四周都是墙，bfs时，可以不做越界判断
        {
            for(int j = 1; j <= m; j++)//从第一；列存储地图，因为四周都是墙，bfs时，可以不做越界判断
            {
                cin >> a[i][j];
                if(a[i][j] == 'S')//记录下起点位置。
                    start.first = i, start.second = j, a[i][j] = '#';
            }
        }
        bfs(start);
    }
}

说明一下，地图初始化为全是墙，然后把地图存储在a[1][1] ~ a[n][m]后，地图四周会被墙包围，所以 bfs 的时候，不用做地图越界处理了。

红与黑

[第五章]图论&&BFS,算法专栏,蓝桥杯训练营,图论,宽度优先,算法

算法原理：

深度优先遍历算法。

对于某个点执行如下算法：

从该点出发，如果可以往上走就往上走，对上方点递归执行该算法。
从该点出发，如果可以往右走就往右走，对右方点递归执行该算法。
从该点出发，如果可以往下走就往下走，对下方点递归执行该算法。
从该点出发，如果可以往左走就往左走，对左方点递归执行该算法。

#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 25;

int n, m;
char g[N][N];//存储地板


int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};//上右下左四个方向

int dfs(int x, int y)//深度优先遍历
{
    int cnt = 1;

    g[x][y] = '#';
    for (int i = 0; i < 4; i ++ )//走四个方向
    {
        int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
        if (a < 0 || a >= n || b < 0 || b >= m) continue;
        if (g[a][b] != '.') continue;
        cnt += dfs(a, b);//如果可以走向某一个方向，对该方向上的点递归
    }

    return cnt;
}

int main()
{
    while (cin >> m >> n, n || m)
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> g[i];//一次读入一行

        int x, y;
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
            for (int j = 0; j < m; j ++ )
                if (g[i][j] == '@')
                {
                    x = i;
                    y = j;
                }

        cout << dfs(x, y) << endl;
    }

    return 0;
}

交换瓶子

[第五章]图论&&BFS,算法专栏,蓝桥杯训练营,图论,宽度优先,算法

算法原理：

暴力枚举

1、通过观察可以发现，我们每一个数都必须回到它自己的位置上，比如 1 必须在第一位，2 必须在第二位上

2、那么我们就可以这样操作，由于每个数必须回到自己的位置，直接从 1 枚举到 $n$ ，如果当前位置的数不等于它的下标，那么我们就必须要把它给替换掉

3、设当前位置为 $i$ 的话，那么我们就从 $i + 1$ 开始往后枚举，直到找到对应的 a[ $j$ ] 和我们的 $i$ 相等，那么我们就把上个数交换，把交换次数++

4、容易证明这个算法的正确性，由于每个数必须回到原来的位置，所以我们这样子操作不会出现多于的步骤，因为每次操作都是必须的，即使这个算法看起来很麻烦

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>

using namespace std;

const int N=10010;

int n;

int a[N];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]!=i)//直接遍历，如果不是自身的话，我们必然要交换，所以不会出现多于的操作
        {
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(a[j]==i)
             swap(a[i],a[j]);
             
             sum++;
        }
    }
    
    printf("%d\n",sum);
    
    return 0;
}

完全二叉树的权值

[第五章]图论&&BFS,算法专栏,蓝桥杯训练营,图论,宽度优先,算法

算法原理：

前置：完全二叉树性质

对于第 $i$ 层，保证存在 $2^{i-1}$ 个结点的满二叉树。

题目思路：

对于每一层的和，我们可以用 $h$ 数组进行存储：

$h_1$ = $\sum\limits^{2^{1}-1}_{i=2^{1-1}}(a_i)$

$h_2$ = $\sum\limits^{2^{2}-1}_{i=2^{2-1}}(a_i)$

$h_3$ = $\sum\limits^{2^{3}-1}_{i=2^{3-1}}(a_i)$

$h_4$ = $\sum\limits^{2^{4}-1}_{i=2^{4-1}}(a_i)$

…

是不是发现突然很简单？对于每个 $h_i$ ，我们可以求 $\sum\limits^{2^{i}-1}_{j=2^{i-1}}(a_j)$ 就行啦！

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

const int INF = 0x7ffffff;

int n;

int a[1 << 17], h[17];//2^17 > 10^5

signed main() {
    
    scanf ("%lld", &n);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) 
    	scanf ("%lld", a + i);
    	//读入 ai，因为 n 的大小是 10^5, 所以用 scanf 这类较快的读入方式。
    	
    int i = 1, j = 0;
    
    while (i <= n) {
    	
    	++ j;
    	
    	while (i < pow (2, j)) {//从 2^(j-1) 循环到 2^j-1
    		
    		h[j] += a[i ++];
		}
	}
	
	int maxx = -INF, res = 0;//找最大
	
	for (i = 1; i <= j; i ++)
		if (h[i] > maxx) 
		
			maxx = h[i],
			res = i;
			
	printf ("%lld\n", res);

    return 0;
}

地牢大师

[第五章]图论&&BFS,算法专栏,蓝桥杯训练营,图论,宽度优先,算法

算法原理：

分析

该迷宫为立体，故需要三维数组构建迷宫模型
要求第一次搜到的点即为答案，则考虑BFS
记录S和E的位置，S为搜索开始的点，E为搜索结束点
搜索过程中的每个位置需要向六个方向偏移，需要[偏移量]数组
偏移点需满足的要求：不越界，未走过，不能是墙#

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=110;

int l,r,c;  //迷宫参数
int px,py,pz,ex,ey,ez;  //pi为S的位置，ei为E的位置

char mp[N][N][N];  //记录迷宫
int ans[N][N][N];  //存储答案
bool vis[N][N][N];  //记录该点是否走过的状态

struct point{  //点的坐标
    int x,y,z;
};

queue<point> st;  //搜索队列

int dx[]={1,-1,0,0,0,0},dy[]={0,0,1,-1,0,0},dz[]={0,0,0,0,1,-1};  //偏移量数组

int bfs(){
    while(!st.empty()){  //当队头不为空时，扩展搜索队头
        auto p=st.front();
        for(int i=0;i<6;i++){
            int m_x=p.x+dx[i],m_y=p.y+dy[i],m_z=p.z+dz[i];  //偏移之后的点的坐标
            if(m_x<=l&&m_y<=r&&m_z<=c&&m_x>=1&&m_y>=1&&m_z>=1&&!vis[m_x][m_y][m_z]&&mp[m_x][m_y][m_z]!='#'){  //判断条件
                vis[m_x][m_y][m_z]=1;  //更新该点走过的状态
                ans[m_x][m_y][m_z]=ans[p.x][p.y][p.z]+1;  //更新偏移后的点距离S的步骤
                if(mp[m_x][m_y][m_z]=='E') return  ans[m_x][m_y][m_z];  //搜到E直接返回答案
                st.push({m_x,m_y,m_z});  //将该点入队，继续扩展搜索
            }
        }
        st.pop();  //队头扩展搜索完毕后出队
    }
    return 0;  //所有的点扩展搜索完后若还未返回搜到E，说明无解
}

int main(){
    while(cin>>l>>r>>c&&l&&r&&c){  //多实例读入
        //还原数据
        memset(ans,0,sizeof(ans)); 
        memset(mp,0,sizeof(mp));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        while(st.size()){
            st.pop();
        }
        //读入迷宫
        for(int i=1;i<=l;i++){
            for(int j=1;j<=r;j++){
                for(int k=1;k<=c;k++){
                    cin>>mp[i][j][k];
                    if(mp[i][j][k]=='S') px=i,py=j,pz=k;  //
                    if(mp[i][j][k]=='E') ex=i,ey=j,ez=k;  //
                }
            }
        }
        
        vis[px][py][pz]=1;  //标记S已经走过
        
        st.push({px,py,pz}); //S点入队
        
        int cnt=bfs();  //调用搜索，将从S点开始搜索
        
        if(cnt!=0) printf("Escaped in %d minute(s).\n",cnt);
        else cout<<"Trapped!"<<endl;
    }
    return 0;
}

全球变暖

[第五章]图论&&BFS,算法专栏,蓝桥杯训练营,图论,宽度优先,算法

算法原理

题目一看就是“连通块问题”，是基础搜索。用DFS或BFS都行：遍历一个连通块（找到这个连通块中所有的’#‘，并标记已经搜过，不用再搜）；再遍历下一个连通块…；遍历完所有连通块，统计有多少个连通块。

回到题目，什么岛屿不会被完全淹没？若岛中有个陆地（称为高地），它周围都是陆地，那么这个岛不会被完全淹没。
用DFS或BFS搜出有多少个岛（连通块），并且在搜索时统计那些没有高地的岛（连通块）的数量，就是答案。
因为每个像素点只用搜一次且必须搜一次，所以复杂度是 $O(n^2)$ 的，不可能更好了。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-852287.html

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
char a[1010][1010]; //地图
int vis[1010][1010]={0};  //标记是否搜过
int d[4][2] = {{0,1}, {0,-1}, {1,0}, {-1,0}}; //四个方向
int flag;  //用于标记这个岛中是否被完全淹没
void dfs(int x, int y)
{
    vis[x][y] = 1;      //标记这个'#'被搜过。注意为什么可以放在这里
    if(a[x][y+1]=='#' && a[x][y-1]=='#' && a[x+1][y]=='#' && a[x-1][y]=='#')
        flag = 1;       //上下左右都是陆地，不会淹没
    for(int i = 0; i < 4; i++){ //继续DFS周围的陆地
        int nx = x + d[i][0], ny = y + d[i][1];
      //if(nx>=1 && nx<=n && ny>=1 && ny<=n && vis[nx][ny]==0 && a[nx][ny]=='#') //题目说边上都是水，所以不用这么写了
        if(vis[nx][ny]==0 && a[nx][ny]=='#') //继续DFS未搜过的陆地，目的是标记它们
            dfs(nx,ny);
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            cin >> a[i][j];
    int ans = 0 ;
    for(int i = 1; i <= n; i++)  //DFS所有像素点
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            if(a[i][j]=='#' && vis[i][j]==0)
            {
                flag = 0;
                dfs(i,j);
                if(flag == 0)  //这个岛全部被淹
                    ans++;     //统计岛的数量
            }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}