协方差矩阵与3d高斯
3d高斯与椭球与协方差矩阵
3d高斯,及3维空间内的正态分布。
通过一元正态分布的坐标系图像不难想象,3维空间中的正态分布点集中在一片椭球空间中,各方向长轴取决于各方向正态分布的方差。
而协方差矩阵通过计算多元之间的协方差关系,反映了椭球在空间中所呈现的几何形态,具体表现方法见下文。
协方差矩阵的几何意义
参考文章:https://www.zhihu.com/tardis/zm/art/37609917?source_id=1005
- 多元正态分布函数表达式如下:
- 可简化为:(忽略常数,μ为0)
- 考虑线性变换 t = Mx
- 引入缩放矩阵S
3维空间中则在3个轴上进行缩放,需要一个3*3*3的对角线矩阵文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-852307.html
文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-852307.html
- 引入旋转矩阵R
- 通过左乘变换矩阵的规则可知,变化矩阵M = RS
- 又x = M⁻¹t,通过带入化简后的多元正态分布表达式,可以得到
∑ = MMᵀ - 综上可以得到 ∑ = RSSᵀRᵀ
即得到协方差函数所表示的放缩/旋转几何意义
对应该放缩/旋转操作所得到的空间内唯一形状的椭球
及对应唯一的一组3d高斯表达。 - 这样的变换会在后面的加快参数更新中得到应用
到了这里,关于3dgs学习(二)—— 3d高斯与协方差矩阵及其几何意义的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!