MIT线性代数-方程组的几何解释

• 矩阵表示如下：
  [ 2 − 1 − 1 2 ] [ x y ] = [ 0 3 ] (3) \begin{bmatrix}2&-1\\\\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\\\3\end{bmatrix}\tag{3} ​2−1​−12​ ​ ​xy​ ​= ​03​ ​(3)

1. 二维空间

1.1 行方向

• 从行的方向上可以得到如下图形：
  
• 得到的交点M(1,2) 就是矩阵求得的x=1,y=2答案。

1.2 列方向

将方程变换成列方向，可得如下结构：
x [ 2 − 1 ] + y [ − 1 2 ] = [ 0 3 ] x\begin{bmatrix}2\\\\-1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\\\3\end{bmatrix} x ​2−1​ ​+y ​−12​ ​= ​03​ ​

• 可以看成两个向量a= [ 2 − 1 ] \begin{bmatrix}2\\\\-1\end{bmatrix} ​2−1​ ​,b= [ − 1 2 ] \begin{bmatrix}-1\\\\2\end{bmatrix} ​−12​ ​的线性组合。
  
• 从列方向可以看出来，方程组可以看出来是以a= [ 2 − 1 ] \begin{bmatrix}2\\\\-1\end{bmatrix} ​2−1​ ​,b= [ − 1 2 ] \begin{bmatrix}-1\\\\2\end{bmatrix} ​−12​ ​为基，以 x, y 为系数，进行向量计算求得向量 [ 0 3 ] \begin{bmatrix}0\\\\3\end{bmatrix} ​03​ ​

2. 三维空间

2.1 行方向

$$2x-y=0;-x+2y-z=-1;-3y+4z=4$$
三维图像如下：
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• 我们发现，对于方程组来说，我们从行方向画图的时候发现，特别难找到三个平面的交点，为此我们希望用更简单的方式看方程组(列方向)

2.2 列方向

• 方程组：$$2x-y=0;-x+2y-z=-1;-3y+4z=4$$
• 转换成矩阵：
  x [ 2 − 1 0 ] + y [ − 1 2 − 3 ] + z [ 0 − 1 4 ] = [ 0 − 1 4 ] x\begin{bmatrix}2\\\\-1\\\\0\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\\\2\\\\-3\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}0\\\\-1\\\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\\\-1\\\\4\end{bmatrix} x ​2−10​ ​+y ​−12−3​ ​+z ​0−14​ ​= ​0−14​ ​
• 从列方向的角度来看，我们是以 a = [ 2 − 1 0 ] , b = [ − 1 2 − 3 ] , c = [ 0 − 1 4 ] a=\begin{bmatrix}2\\\\-1\\\\0\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}-1\\\\2\\\\-3\end{bmatrix},c=\begin{bmatrix}0\\\\-1\\\\4\end{bmatrix} a= ​2−10​ ​,b= ​−12−3​ ​,c= ​0−14​ ​为基，以x,y,z为系数画图，求得向量 z = [ 0 − 1 4 ] z=\begin{bmatrix}0\\\\-1\\\\4\end{bmatrix} z= ​0−14​ ​
• 那么我们就可以以更简单的方式进行求解系数x,y,z
  
• 通过矩阵方程和图形可以看出，当x=0,y=0,z=1时可以得到结果
  0 [ 2 − 1 0 ] + 0 [ − 1 2 − 3 ] + 1 [ 0 − 1 4 ] = [ 0 − 1 4 ] 0\begin{bmatrix}2\\\\-1\\\\0\end{bmatrix}+0\begin{bmatrix}-1\\\\2\\\\-3\end{bmatrix}+1\begin{bmatrix}0\\\\-1\\\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\\\-1\\\\4\end{bmatrix} 0 ​2−10​ ​+0 ​−12−3​ ​+1 ​0−14​ ​= ​0−14​ ​
• 只有当向量a,b,c 相互独立，那么就可以通过系数x,y,z来求得向量z;
• AX=b 表示的是将A的列向量进行组合得到向量b.

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