【线性代数｜C++】克拉默法则-Toy模板网

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一、定义（克拉默法则）

设含有 $n$ 个未知数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的 $n$ 个线性方程的方程组 $\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n=b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots +a_{nn}x_n=b_n\end{cases}\tag{1} ,$ 如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即 $D=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n} \\ \vdots && \vdots \\a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \neq 0,$ 那么，方程组（1）有唯一解 $x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots ,x_n=\frac{D_n}{D},$ 其中 $D_j(j=1,2,\cdots ,n)$ 是把系数行列式D中的第 $j$ 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 $n$ 阶行列式，即 $D_j=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{1,j-1}&b_1&a_{1,j+1}&\cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots &\vdots &&\vdots \\ a_{n1}&a_{n,j-1}&b_n & a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}.$

二、定理4

如果线性方程组（1）的系数行列式 $D\neq 0$ ，则（1）一定有解，且解是惟一的.

三、定理4’

如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.

四、定义（非齐次线性方程组、齐次线性方程组）

线性方程组（1）右端的常数项 $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ 不全为零时，线性方程组（1）叫做非齐次线性方程组.
当 $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ 全为零时，线性方程组（1）叫做齐次线性方程组.

五、定理5

如果齐次线性方程组（1）的系数行列式 $D\neq 0$ ，则齐次线性方程组（1）没有非零解.

六、定理5’

如果齐次线性方程组（1）有非零解，则它的系数行列式必为零.

七、C++代码实现

解线性方程组 $\begin{cases}2x_1+\;\;x_2-5x_3+x_4=8\\ \;\; x_1-3x_2 \quad \quad \; -6x_4=9 \\ \quad \quad \;\;\; 2x_2-\;x_3+2x_4=-5\\ \;\;x_1+4x_2-7x_3+6x_4=0\end{cases}$

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

//行列式求值函数
int GetDetVal(const vector<vector<int>> &vvDetInput)
{
    int iDetVal;

    //行列式空白时，退出
    if(0 == vvDetInput.size())
        return 0;
    
    //当行列式仅有1个元素（阶数为1）时，该值就是行列式的值
    if(1 == vvDetInput.size() && 1 == vvDetInput[0].size())
    {
        return vvDetInput[0][0];
    }
    //当行列式元素阶数大于1时，将行列式按第1行展开
    else
    {
        //先求行列式的余子式
        vector<vector<int>> vvCofactor(vvDetInput);//1.复制输入行列式
        vvCofactor.erase(vvCofactor.cbegin());//2.删除第1行
        for(unsigned int i = 0; i < vvCofactor[0].size(); i++)//3.逐列删除
        {            
            for(unsigned int j = 0; j < vvCofactor.size(); j++)
            {
                vvCofactor[j].erase(vvCofactor[j].cbegin() + i);
            }
            //对第1行各元素预期代数余子式的成绩进行累加，得到行列式的值。当行列式阶数大于1时，递归调用本函数
            iDetVal += (vvDetInput[0][i] * pow(-1, i) * GetDetVal(vvCofactor));
            vvCofactor.clear();
            vvCofactor = vvDetInput;
            vvCofactor.erase(vvCofactor.cbegin());//2.删除第1行
        }
    }
    return iDetVal;
}

//主函数
int main() {
    //方程组系数行列式
    vector<vector<int>> vvCoefficients{{2,1,-5,1},
                                      {1,-3,0,-6},
                                      {0,2,-1,2},
                                      {1,4,-7,6}};
    //方程组常数项
    vector<int> vConstants{8,9,-5,0};

    //克拉默法则中分母D的值
    int D = GetDetVal(vvCoefficients);

    //求克拉默法则中分子的值，并代入公式求方程的解
    for(unsigned int i = 0; i < vvCoefficients[0].size(); i++)
    {
        vector<vector<int>> vvDet0(vvCoefficients);
        for(unsigned int j = 0; j < vvCoefficients.size(); j++)
        {
            vvDet0[j][i] = vConstants[j];
        }
         cout << "x" << i + 1 << " = " << GetDetVal(vvDet0) / D << endl;
    }

    return 0;
}