本文默认读者具有动态规划前置知识
- 动态规划的特点:
- 重叠子问题
- 状态转移方程
- 最优子结构
- 题型:求最值
- 解题套路:
- 明确【状态】
- 明确【选择】
- 明确dp函数/数据的定义
- 明确base case
- 例:给你一个可装载容量为W的背包和N个物品,每个物品有重量和价值两个属性。其中第i个物品的重量为wt[i],价值为va[i],现在让你用这个背包装物品,最多能装的价值是多少?
- 在这里将问题具体化:现在有4 (N=4)个物品,背包总容量为8 (W=8),背包最多能装入价值为多少的物品?
物体编号 | 物体体积 | 物体价值 |
---|---|---|
1 | 2 | 3 |
2 | 3 | 4 |
3 | 4 | 5 |
4 | 5 | 6 |
-
第一步,明确状态和选择
-
状态:背包的空余容量剩多少;可选择的物品还有哪些
-
选择:把这个物品装进背包;把这个物品装进背包
-
第二步,明确dp数组的定义:对于前1个物品,当背包的容量为w时,可以装的最大价值是 dp[i][w]
-
比如说,dp[4][8]=10的含义为:
对于给定的一系列物品中,若只对前4个物品进行选择,当背包容量为8时,最多可以装下的价值为10。 -
根据此定义,还可得出:base case为dp[0][…] = dp[…][0] =0(编号为0,不装物品;容量为0,装不下任何物体),我们想计算的结果是 dp[N][W]
-
背包容量为1,物品编号可选为1,通过上表可知,物品编号为1时物品体积为2,所以此时选择不装任何物品。
-
背包容量为2,物品编号可选为1,装入则价值为3。依次往后填充该行。
-
背包容量为3,物品编号可选为1、2时,装入编号为2的物品,此时价值为4。
-
背包容量为5,物品编号可选为1、2时,装入编号为1和2的物品,此时价值为7。
-
依次往后填充完该表格
文章来源:https://www.toymoban.com/news/detail-853298.html -
第三步,根据[选择]写出状态转移逻辑:在w的约束下,把物品i装进背包,最大价值是多少;在w的约束下,不把物品i装进背包,最大价值是多少?文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-853298.html
for(let i=1;i<=n;i++) {
for(let v=w[i]; v<=c;v++) {
dp[i][v] = Math.max(dp[i-1][v], dp[i-1][v-w[i]]+value[i])
}
}
- 背包问题完整求解代码:
// 入参是物品的个数和背包的容量上限,以及物品的重量和价值数组
function knapsack(n, c, w, value) {
// dp是动态规划的状态保存数组
const dp = (new Array(c+1)).fill(0)
// res 用来记录所有组合方案中的最大值
let res = -Infinity
for(let i=1;i<=n;i++) {
for(let v=c;v>=w[i];v--) {
// 写出状态转移方程
dp[v] = Math.max(dp[v], dp[v-w[i]] + value[i])
// 即时更新最大值
if(dp[v] > res) {
res = dp[v]
}
}
}
return res
}
- 扩展 – 最长上升子序列模型
题目描述:给定一个无序的整数数组,找到其中最长上升子序列的长度。
示例:
输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101],它的长度是 4。
- 代码实现
/**
* @param {number[]} nums
* @return {number}
*/
// 入参是一个数字序列
const lengthOfLIS = function(nums) {
// 缓存序列的长度
const len = nums.length
// 处理边界条件
if(!len) {
return 0
}
// 初始化数组里面每一个索引位的状态值
const dp = (new Array(len)).fill(1)
// 初始化最大上升子序列的长度为1
let maxLen = 1
// 从第2个元素开始,遍历整个数组
for(let i=1;i<len;i++) {
// 每遍历一个新元素,都要“回头看”,看看能不能延长原有的上升子序列
for(let j=0;j<i;j++) {
// 若遇到了一个比当前元素小的值,则意味着遇到了一个可以延长的上升子序列,故更新当前元素索引位对应的状态
if(nums[j]<nums[i]) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1)
}
}
// 及时更新上升子序列长度的最大值
if(dp[i] > maxLen) {
maxLen = dp[i]
}
}
// 遍历完毕,最后到手的就是最大上升子序列的长度
return maxLen
};
到了这里,关于动态规划(01背包问题)的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!