动态规划(01背包问题)

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了动态规划(01背包问题)。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

本文默认读者具有动态规划前置知识


  • 动态规划的特点:
  1. 重叠子问题
  2. 状态转移方程
  3. 最优子结构
  • 题型:求最值
  • 解题套路:
  1. 明确【状态】
  2. 明确【选择】
  3. 明确dp函数/数据的定义
  4. 明确base case

  • 例:给你一个可装载容量为W的背包和N个物品,每个物品有重量和价值两个属性。其中第i个物品的重量为wt[i],价值为va[i],现在让你用这个背包装物品,最多能装的价值是多少?
  • 在这里将问题具体化:现在有4 (N=4)个物品,背包总容量为8 (W=8),背包最多能装入价值为多少的物品?
物体编号 物体体积 物体价值
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5 6
  • 第一步,明确状态和选择

  • 状态:背包的空余容量剩多少;可选择的物品还有哪些

  • 选择:把这个物品装进背包;把这个物品装进背包

  • 第二步,明确dp数组的定义:对于前1个物品,当背包的容量为w时,可以装的最大价值是 dp[i][w]

  • 比如说,dp[4][8]=10的含义为:
    对于给定的一系列物品中,若只对前4个物品进行选择,当背包容量为8时,最多可以装下的价值为10。

  • 根据此定义,还可得出:base case为dp[0][…] = dp[…][0] =0(编号为0,不装物品;容量为0,装不下任何物体),我们想计算的结果是 dp[N][W]
    01背包动态规划,数据结构,动态规划,算法,背包问题,最长上升子序列,数据结构

  • 背包容量为1,物品编号可选为1,通过上表可知,物品编号为1时物品体积为2,所以此时选择不装任何物品。

  • 背包容量为2,物品编号可选为1,装入则价值为3。依次往后填充该行。01背包动态规划,数据结构,动态规划,算法,背包问题,最长上升子序列,数据结构

  • 背包容量为3,物品编号可选为1、2时,装入编号为2的物品,此时价值为4。

  • 背包容量为5,物品编号可选为1、2时,装入编号为1和2的物品,此时价值为7。

  • 依次往后填充完该表格
    01背包动态规划,数据结构,动态规划,算法,背包问题,最长上升子序列,数据结构

  • 第三步,根据[选择]写出状态转移逻辑:在w的约束下,把物品i装进背包,最大价值是多少;在w的约束下,不把物品i装进背包,最大价值是多少?文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-853298.html

for(let i=1;i<=n;i++) {
    for(let v=w[i]; v<=c;v++) {
      dp[i][v] = Math.max(dp[i-1][v], dp[i-1][v-w[i]]+value[i])
    }
}

  • 背包问题完整求解代码:
// 入参是物品的个数和背包的容量上限,以及物品的重量和价值数组
function knapsack(n, c, w, value) {
    // dp是动态规划的状态保存数组
    const dp = (new Array(c+1)).fill(0)  
    // res 用来记录所有组合方案中的最大值
    let res = -Infinity
    for(let i=1;i<=n;i++) {
        for(let v=c;v>=w[i];v--) {
            // 写出状态转移方程
            dp[v] = Math.max(dp[v], dp[v-w[i]] + value[i])
            // 即时更新最大值
            if(dp[v] > res) {
                res = dp[v]
            }
        }
    }
    return res
}

  • 扩展 – 最长上升子序列模型
题目描述:给定一个无序的整数数组,找到其中最长上升子序列的长度。
示例:
输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101],它的长度是 4。
  • 代码实现
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
// 入参是一个数字序列
const lengthOfLIS = function(nums) {
  // 缓存序列的长度
  const len = nums.length  
  // 处理边界条件
  if(!len) {
      return 0
  }
  // 初始化数组里面每一个索引位的状态值
  const dp = (new Array(len)).fill(1)
  // 初始化最大上升子序列的长度为1
  let maxLen = 1 
  // 从第2个元素开始,遍历整个数组
  for(let i=1;i<len;i++) {
      // 每遍历一个新元素,都要“回头看”,看看能不能延长原有的上升子序列
      for(let j=0;j<i;j++) {  
          // 若遇到了一个比当前元素小的值,则意味着遇到了一个可以延长的上升子序列,故更新当前元素索引位对应的状态
          if(nums[j]<nums[i]) {
              dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1)  
          }
      }
      // 及时更新上升子序列长度的最大值
      if(dp[i] > maxLen) {
          maxLen = dp[i]
      }
  }
  // 遍历完毕,最后到手的就是最大上升子序列的长度
  return maxLen
};

到了这里,关于动态规划(01背包问题)的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处: 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请点击违法举报进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

领支付宝红包 赞助服务器费用

相关文章

  • 算法系列--动态规划--背包问题(1)--01背包介绍

    💕\\\"趁着年轻,做一些比较cool的事情\\\"💕 作者:Lvzi 文章主要内容:算法系列–动态规划–背包问题(1)–01背包介绍 大家好,今天为大家带来的是 算法系列--动态规划--背包问题(1)--01背包介绍 背包问题是动态规划中经典的一类问题,经常在笔试面试中出现,是非常 具有区分度 的题

    2024年04月16日
    浏览(56)
  • 算法学习17-动态规划01:背包问题

    提示:以下是本篇文章正文内容: 提示:这里对文章进行总结: 💕💕💕

    2024年04月27日
    浏览(53)
  • 【动态规划】01背包问题——算法设计与分析

    若超市允许顾客使用一个体积大小为13的背包,选择一件或多件商品带走,则如何选择可以使得收益最高? 商品 价格 体积 啤酒 24 10 汽水 2 3 饼干 9 4 面包 10 5 牛奶 9 4 0-1 Knapsack Problem 输入: quad - n n n 个商品组成集合 O O O ,每个商品有属性价格 p i p_i p i ​ 和体积 v i v_i v

    2024年02月04日
    浏览(79)
  • 【Java实现】动态规划算法解决01背包问题

    1、问题描述: 一个旅行者有一个最多能装m公斤的背包,现在有n中物品,每件的重量分别是W1、W2、……、Wn,每件物品的价值分别为C1、C2、……、Cn, 需要将物品放入背包中,要怎么样放才能保证背包中物品的总价值最大? 2、动态规划算法的概述 1)动态规划(Dynamic Progra

    2023年04月09日
    浏览(57)
  • 算法分析与设计——动态规划求解01背包问题

    假设有四个物品,如下图,背包总容量为8,求背包装入哪些物品时累计的价值最多。 我们使用动态规划来解决这个问题,首先使用一个表格来模拟整个算法的过程。 表格中的信息表示 指定情况下能产生的最大价值 。例如, (4, 8)表示在背包容量为8的情况下,前四个物品的最

    2024年02月04日
    浏览(70)
  • 算法套路十四——动态规划之背包问题:01背包、完全背包及各种变形

    如果对递归、记忆化搜索及动态规划的概念与关系不太理解,可以前往阅读算法套路十三——动态规划DP入门 背包DP介绍:https://oi-wiki.org/dp/knapsack/ 0-1背包:有n个物品,第i个物品的体积为w[i],价值为v[i],每个物品至多选一个, 求体积和不超过capacity时的最大价值和,其中i从

    2024年02月10日
    浏览(60)
  • C++算法初级11——01背包问题(动态规划2)

    辰辰采药 辰辰是个天资聪颖的孩子,他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此,他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质,给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说:“孩子,这个山洞里有一些不同的草药,采每一株都需要一些时

    2024年02月02日
    浏览(50)
  • 【算法日志】动态规划刷题:01背包问题,多重背包问题(day37,day38)

    目录 前言 目标和(01背包) 一和零(01背包) 零钱兑换(多重背包) 排列总和(多重背包) 这两天都是背包问题,其中的01背包的一些应用问题需要一定的数学建模能力,需要i将实际问题简化成我们熟悉的背包问题;而这两天的多重背包问题还算比较基础,但也要我明白了

    2024年02月11日
    浏览(56)
  • 【算法|动态规划 | 01背包问题No.2】AcWing 423. 采药

    个人主页:兜里有颗棉花糖 欢迎 点赞👍 收藏✨ 留言✉ 加关注💓本文由 兜里有颗棉花糖 原创 收录于专栏【手撕算法系列专栏】【AcWing算法提高学习专栏】 🍔本专栏旨在提高自己算法能力的同时,记录一下自己的学习过程,希望对大家有所帮助 🍓希望我们一起努力、成

    2024年02月06日
    浏览(50)
  • 算法设计与分析实验二:动态规划法求解TSP问题和01背包问题

    【实验内容】 (1)tsp问题:利用动态规划算法编程求解TSP问题,并进行时间复杂性分析。 输入:n个城市,权值,任选一个城市出发; 输出:以表格形式输出结果,并给出向量解和最短路径长度。 (2)01背包问题:利用动态规划算法编程求解0-1背包问题,并进行时间复杂性分

    2024年02月03日
    浏览(58)

觉得文章有用就打赏一下文章作者

支付宝扫一扫打赏

博客赞助

微信扫一扫打赏

请作者喝杯咖啡吧~博客赞助

支付宝扫一扫领取红包,优惠每天领

二维码1

领取红包

二维码2

领红包