动态规划(01背包问题)

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了动态规划(01背包问题)。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方,请大家不吝赐教,您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

本文默认读者具有动态规划前置知识


  • 动态规划的特点:
  1. 重叠子问题
  2. 状态转移方程
  3. 最优子结构
  • 题型:求最值
  • 解题套路:
  1. 明确【状态】
  2. 明确【选择】
  3. 明确dp函数/数据的定义
  4. 明确base case

  • 例:给你一个可装载容量为W的背包和N个物品,每个物品有重量和价值两个属性。其中第i个物品的重量为wt[i],价值为va[i],现在让你用这个背包装物品,最多能装的价值是多少?
  • 在这里将问题具体化:现在有4 (N=4)个物品,背包总容量为8 (W=8),背包最多能装入价值为多少的物品?
物体编号 物体体积 物体价值
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5 6
  • 第一步,明确状态和选择

  • 状态:背包的空余容量剩多少;可选择的物品还有哪些

  • 选择:把这个物品装进背包;把这个物品装进背包

  • 第二步,明确dp数组的定义:对于前1个物品,当背包的容量为w时,可以装的最大价值是 dp[i][w]

  • 比如说,dp[4][8]=10的含义为:
    对于给定的一系列物品中,若只对前4个物品进行选择,当背包容量为8时,最多可以装下的价值为10。

  • 根据此定义,还可得出:base case为dp[0][…] = dp[…][0] =0(编号为0,不装物品;容量为0,装不下任何物体),我们想计算的结果是 dp[N][W]
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  • 背包容量为1,物品编号可选为1,通过上表可知,物品编号为1时物品体积为2,所以此时选择不装任何物品。

  • 背包容量为2,物品编号可选为1,装入则价值为3。依次往后填充该行。01背包动态规划,数据结构,动态规划,算法,背包问题,最长上升子序列,数据结构

  • 背包容量为3,物品编号可选为1、2时,装入编号为2的物品,此时价值为4。

  • 背包容量为5,物品编号可选为1、2时,装入编号为1和2的物品,此时价值为7。

  • 依次往后填充完该表格
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  • 第三步,根据[选择]写出状态转移逻辑:在w的约束下,把物品i装进背包,最大价值是多少;在w的约束下,不把物品i装进背包,最大价值是多少?文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-853298.html

for(let i=1;i<=n;i++) {
    for(let v=w[i]; v<=c;v++) {
      dp[i][v] = Math.max(dp[i-1][v], dp[i-1][v-w[i]]+value[i])
    }
}

  • 背包问题完整求解代码:
// 入参是物品的个数和背包的容量上限,以及物品的重量和价值数组
function knapsack(n, c, w, value) {
    // dp是动态规划的状态保存数组
    const dp = (new Array(c+1)).fill(0)  
    // res 用来记录所有组合方案中的最大值
    let res = -Infinity
    for(let i=1;i<=n;i++) {
        for(let v=c;v>=w[i];v--) {
            // 写出状态转移方程
            dp[v] = Math.max(dp[v], dp[v-w[i]] + value[i])
            // 即时更新最大值
            if(dp[v] > res) {
                res = dp[v]
            }
        }
    }
    return res
}

  • 扩展 – 最长上升子序列模型
题目描述:给定一个无序的整数数组,找到其中最长上升子序列的长度。
示例:
输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101],它的长度是 4。
  • 代码实现
/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
// 入参是一个数字序列
const lengthOfLIS = function(nums) {
  // 缓存序列的长度
  const len = nums.length  
  // 处理边界条件
  if(!len) {
      return 0
  }
  // 初始化数组里面每一个索引位的状态值
  const dp = (new Array(len)).fill(1)
  // 初始化最大上升子序列的长度为1
  let maxLen = 1 
  // 从第2个元素开始,遍历整个数组
  for(let i=1;i<len;i++) {
      // 每遍历一个新元素,都要“回头看”,看看能不能延长原有的上升子序列
      for(let j=0;j<i;j++) {  
          // 若遇到了一个比当前元素小的值,则意味着遇到了一个可以延长的上升子序列,故更新当前元素索引位对应的状态
          if(nums[j]<nums[i]) {
              dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1)  
          }
      }
      // 及时更新上升子序列长度的最大值
      if(dp[i] > maxLen) {
          maxLen = dp[i]
      }
  }
  // 遍历完毕,最后到手的就是最大上升子序列的长度
  return maxLen
};

到了这里,关于动态规划(01背包问题)的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容,请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章,希望大家以后多多支持TOY模板网!

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