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1. 欧拉图
本文从哥尼斯堡七桥的故事说起。
哥尼斯堡城有一条横贯全市的普雷格尔河，河中的两个岛与两岸用七座桥连结起来。当时那里的居民热衷于一个话题：怎样不重复地走遍七桥，最后回到出发点。这也是经典的一笔画完问题。
1736年瑞士数学家欧拉（Euler）发表了论文《哥尼斯堡七桥问题》。论文中使用图论理论解决哥尼斯堡七桥问题，欧拉图由此而来。论文中欧拉证明了如下定理：一个非空连通图当且仅当每个顶点的度数都是偶数时才会是欧拉图。
欧拉图的几个概念：
-
欧拉回路：指在图（无向图或有向图）中，经过图中所有边且只经过边一次所形成的回路，称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图。如下图结构为欧拉图，从
1号节点出发，经过所有边后可以重回到1号节点。
-
欧拉路径：指通过图中每条边且仅通过一次形成的路径（没有环）。具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。如下图，从
6号节点出发，可以经过每一条边后到达2号节点，存在欧拉路径，只能说是半欧拉图。
欧拉图的性质：
- 欧拉图中所有顶点的度数都是偶数。也就是说，图中存在欧拉回路的充要条件是图中每个结点都是偶节点（连接该节点的边的数量为偶数）。
因为欧拉回路定义只能经过每条边一次，所以，对于每一个节点，至少需要有 2n(n=0,1……) 条边连接该节点。
论证：当 n = 0时，图结构中只含有一个节点v，边数为0，图论中认为自己和自己是能构建成回路的。所以当n=0时，图是欧拉图。
当n>=1时，如果从一个节点出发，经过一个路径后，能够重新回来。相当于一个人要和其他人围成一个圈，每个人必须伸出两只手，否则是不可能形成圈的。故每个节点都连接有2n(n = 0,1,2,...n)条边。
-
欧拉路径中奇节点（连接该节点的边的数量为奇数）的个数为
0或2。若奇节点的个数为0，则图中存在欧拉回路，欧拉回路也是欧拉路径的一种。把欧拉回路变成欧拉路径，只需要抽取出环中的一条边。因为欧拉环的充要条件是节点度数有偶数，抽取出一条边后，会让原来连接边两端的节点的度数分别减少一，出现两个奇节点。除此之外，你不能再抽取出任何一条边，否则得不到欧拉路径。
- 若图是欧拉图，则它为若干个环的并集，且每条边被包含在奇数个环内。如下图，整个图是由
5个环组成，且每一条边都是包含在奇数个环内。
欧拉图的判定法：
无向图是欧拉图当且仅当：非零度顶点是连通的；顶点的度数都是偶数。
无向图是半欧拉图当且仅当：非零度顶点是连通的；恰有 2 个奇度顶点。
有向图是欧拉图当且仅当：非零度顶点是强连通的；每个顶点的入度和出度相等。
有向图是半欧拉图当且仅当：非零度顶点是弱连通的；至多一个顶点的出度与入度之差为 1；至多一个顶点的入度与出度之差为 1；其他顶点的入度和出度相等。
2. 欧拉图判定算法
2.1 Fleury(弗罗莱) 算法
Fleury算法用来判断图是否是欧拉通路或欧拉回路的算法。
使用如下的欧拉图，了解Fleury算法的主要步骤。
Tips： 根据欧拉图的判断法，下图中每一个节点都是偶节点，满足无向图是欧拉图的前提条件。
- 选节点
1为起点，并将该起点加入路径中。Fleury算法选择栈存储欧拉路径。
-
从起点开始，一路
DFS试着走出一条通路。方法是找与此节点相邻的节点。如果只有一个节点，则将这个点直接加入路径中。
如果有多个相邻节点，则选择其中一条边，把相邻节点加入路径后，且删除这一条边。
如果没有邻接节点，则从路径中弹出。
节点
5和节点2都与1相邻，可以选择向5方向，也可以选择2方向。这里选择2方向，把节点2放入路径，然后置1-2这条边为删除状态。如此这般，一路经过3、4、5节点后回到1号节点。下图中标记为红色的边表示已经访问或被删除。
- 重新回到节点
1，此时不再存在与节点1邻接的节点，从路径中弹也，依次可弹出5、4、3。直到碰到2号节点。
- 因为存在与
2号节点邻接的节点，再次以2号节点为始点，使用DFS开路。一路上遇到6、7，且再次回到2号节点。
-
2号节点不存在与之邻接的节点，出栈。同理，7、6依次出栈。
小结：
当有与当前节点邻接的节点时，一路DFS，直到没有邻接的尽头。些时，一轮DFS算法结束，从路径中依次弹出没有邻接节点的节点，直到遇到还有邻接节点的节点，新一轮的DFS重新开始。直到所有节点邻接的边全部访问完毕。
编码实现：
#include <iostream>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <stack>
#define INF 100000
using namespace std;
int graph[100][100];
int n,m;
stack<int> sta;
void read() {
for(int i = 0; i < m; i++) {
int f,t;
cin >> f >> t;
graph[f][t] = 1;
graph[t][f] = 1;
}
}
void dfs(int u) {
sta.push(u);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
if(graph[i][u] > 0) {
//标记为删除
graph[u][i] = 0;
graph[i][u] = 0;
dfs(i);
//仅朝一条边方向 DFS,方便形成回路
break;
}
}
}
void fleury(int x) {
int isEdge;
sta.push(x);
while(!sta.empty()) {
isEdge = 0;
int t = sta.top();
sta.pop();
//检查是否有边
for(int i = 1; i <= n; i++) {
if(graph[t][i] > 0) {
isEdge = 1;
break;
}
}
if(isEdge == 0) {
//没有邻接边，输出
cout << t << " ";
} else {
//有邻接边，一路DFS狂奔
dfs(t);
}
}
}
int main() {
cin >> n >> m;
memset(graph,0,sizeof(graph));
read();
int num = 0;
int start = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
int deg = 0;
for(int j = 1; j <= n; j++)
deg += graph[i][j];
if(deg % 2 == 1) {
//奇节点的数量
start = i;
num++;
}
}
if(num == 0 || num == 2)
fleury(start);
else
cout << "不存在欧拉路径" << endl;
return 0;
}
//测试用例
7 8
1 2
1 5
2 3
2 6
2 7
3 4
4 5
6 7
测试结果：
2.2 Hierholzer 算法
也称逐步插入回路法。由数学家卡尔·希尔霍尔策给出，基于贪心思想。Hierholzer 的基本思路。先找到一个子回路，以此子回路为基础，逐步将其它回路以插入的方式合并到该子回路中，最终形成完整的欧拉回路。继续使用上图做演示。
- 寻找子回路：如下从节点
1开始，沿着边遍历图，一边遍历一边删除经过的边。如果遇到一个所有边都被删除的节点，那么该节点必然是1（回到初始点）。将该回路上的节点和边添加到结果序列中。这个过程和Fleury算法没有太多区别。
- 回溯时检查刚添加到结果序列中的节点，看是否还有与节点相连且未遍历的边。可发现节点
2有未遍历的边，则从2出发开始遍历，找到一个包含2的新回路，将结果序列中的一个2用这个新回路替换，此时结果序列仍然是一个回路。这是和Fleury算法最大区别。
- 重复直到所有边都被遍历。
编码实现
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<vector>
const int maxn = 10005;
const int maxm = 1000005;//edge
using namespace std;
int n,m;
struct Edge {
int to, nxt;
bool vis=0;
};
Edge edge[maxm];
//如果没有以 i 为起点的有向边则 head[i] 的值为 0
int head[maxm];
//边的个数
int cnt;
//存储找到的回路
vector<Edge> ans;
//起始点
int sn;
void init() {
for(int i=1; i<=n; i++) {
head[i]=0;
cnt=0;
}
}
/*
*添加边
*/
void addEdge(int from, int to) {
edge[cnt].to = to;
edge[cnt].nxt = head[from];
head[from] = cnt++;
}
void read() {
int f,t;
for(int i=1; i<=m; i++) {
cin>>f>>t;
addEdge(f,t);
addEdge(t,f);
}
}
void hierholzer(int sn) {
for (int i = head[sn]; i != 0; i = edge[i].nxt) {
// 遍历过
if (edge[i].vis) continue;
// 删除
edge[i].vis = edge[i ^ 1].vis = true;
// 继续
hierholzer(edge[i].to);
// 回溯时加入结果序列后，循环会继续查找是否有邻接边
ans.push_back(edge[i]);
}
}
void show() {
for(int i=0; i<ans.size(); i++) {
cout<<ans[i].to<<"\t";
}
cout<<sn<<"\t";
}
int main() {
cin>>n>>m;
sn=1;
init();
read();
hierholzer(sn);
show();
return 0;
}
测试结果：
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-854515.html
3. 总结
Hierholzer和Fleury算法的基本思路差不多，在DFS时找环。Fleury使用分段策略，找到一条环后，以环中某一个还存在邻接边的节点重新开始使用DFS找环，直到找到所有环。Hierholzer算法很有技巧性，在回溯时检查节点是否还有邻接边，有则重新DFS直到完毕。文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-854515.html
到了这里，关于C++ 图论算法之欧拉路径、欧拉回路算法（一笔画完）的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
