算法题
Leetcode 647. 回文子串
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个人思路
这道题的dp数组有点难找到关联，以至于递归关系也不好找，所以看题解吧...
解法
动态规划
动规五部曲：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
一般在定义dp数组的时候 会根据题目求什么，就如何定义dp数组。不过本题如果定义dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，会发现很难找到递归关系。因为dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。
所以这道题要看回文串的性质。 如图：
在判断字符串S是否是回文，那么如果知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。
这里的递归关系就是判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。所以为了明确这种递归关系，dp数组是要定义成一位二维dp数组。
布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
2.确定递推公式
一共有两种情况，s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等
当s[i]与s[j]不相等，dp[i][j]一定是false。
当s[i]与s[j]相等时，有如下三种情况
- 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
- 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
- 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
3.dp数组如何初始化
dp[i][j]只能初始化为false。
4.确定遍历顺序
从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。
dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：
如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
5.举例推导dp数组
举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下图，图中有6个true，所以就是有6个回文子串。
注意：因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
char[] chars = s.toCharArray();
int len = chars.length;
boolean[][] dp = new boolean[len][len];
int result = 0;//回文子串数量结果
for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j < len; j++) {
if (chars[i] == chars[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
result++;
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { //情况三
result++;
dp[i][j] = true;
}
}
}
}
return result;
}
}时间复杂度:O(n^2)；（
n是字符串的长度）空间复杂度:O( n^2);（二维dp数组）文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-855628.html
Leetcode 516.最长回文子序列
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个人思路
这道题的回文子序列是可以不连续的，分析递归关系相对上题要少一点，依旧还是用动态规划，在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同，当字符串s[i][j] 相同时，dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2，不同时取最大值
解法
动态规划
动规五部曲：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。
2.确定递推公式
如果s[i]与s[j]相同，如下图，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
3.dp数组如何初始化
首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。
其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。
4.确定遍历顺序
从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：
所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。
j的话，可以正常从左向右遍历。
5.举例推导dp数组
输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如下图，红色框即：dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。
public class Solution {
public int longestPalindromeSubseq(String s) {
int len = s.length();
int[][] dp = new int[len + 1][len + 1];
for (int i = len - 1; i >= 0; i--) { // 从后往前遍历 保证情况不漏
dp[i][i] = 1; // 初始化
for (int j = i + 1; j < len; j++) {
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], Math.max(dp[i][j], dp[i][j - 1]));
}
}
}
return dp[0][len - 1];
}
}时间复杂度:O(n^2)；（ for嵌套循环，遍历数组）
空间复杂度:O( n^2);（二维dp数组）
以上是个人的思考反思与总结，若只想根据系列题刷，参考卡哥的网址代码随想录算法官网文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-855628.html
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