1049. 最后一块石头的重量 II
本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。
对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。
- 确定递推公式
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);（与分割子集那题相同）
- dp数组如何初始化
既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）（也就是target）是多少呢，就是所有石头的重量和。
定为target15001即可， 也可以将数组相加再/2
- 确定遍历顺序
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
- 举例推导dp数组
- 从0-1背包转化成实际问题
最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。
那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。
在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。
那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。
最终代码：
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
//思想：让重量相似的石头相撞这样得到的石头更小
int sum = 0;
for(int stone : stones){
sum += stone;
}
int target = sum / 2;//像下取整的，target一定小于等于sum - target
int dp[] = new int [target + 1];
for(int i = 0; i < stones.length; i++){
for(int j = target; j >= stones[i]; j--){
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
}
}
return sum - dp[target] - dp[target];
}
}
494. 目标和
这题的重点在于怎么把正负符号问题转化为定和->进而转化为0-1背包问题
本题要如何使表达式结果为target，
既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合（添加负号的） = target。
left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left
公式来了， left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。
target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。
此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。（相当于0-1背包问题）
有两种解法，一个回溯，跟组合总和那题一样，第二种解法就是动态规划。
回溯
先空着，不剪枝会超时。
动态规划
x = (target + sum) / 2
此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法。
dp五部曲
- 确定dp数组下标及其含义
dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法
- 确定递推公式
只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。也就是说dp[j - nums[i]]渴望找到nums[i]，这样就符合要求了。因此递推公式是：
所以求组合类问题的公式，都是类似这种：
dp[j] += dp[j - nums[i]]
这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！
- 初始化dp数组
只要初始化dp[0]即可，填满0的包，有1种方法，所以dp[0] = 1。
- 确定遍历顺序
跟之前的一维0-1背包一样，先遍历物品再遍历背包，背包从后往前遍历。
- 举例推导dp数组
[外链图片转存中…(img-PMOiMxzQ-1713323607584)]
最终代码：
class Solution {
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
int sum = Arrays.stream(nums).sum();
//如果target的绝对值大于sum，那么是没有方案的
if (Math.abs(target) > sum) return 0;
//如果(target+sum)除以2的余数不为0，也是没有方案的
if ((target + sum) % 2 == 1) return 0;
int left = (sum + target) / 2;
int dp[] = new int[left + 1];
dp[0] = 1;
for(int i = 0; i < nums.length;i++){
for(int j = left; j >= nums[i]; j--){
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[left];
}
}
这里注意两个特殊情况， 一个是如果target的绝对值大于sum，那么是没有方案的，另一个是如果(target+sum)除以2的余数不为0，也是没有方案的。
474. 一和零
理解成多重背包的同学主要是把m和n混淆为物品了，感觉这是不同数量的物品，所以以为是多重背包。
但本题其实是01背包问题！
只不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。
dp五部曲
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。
- 确定递推公式
dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。
dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。
此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。
- dp数组初始化
初始为0即可。文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-855952.html
- 遍历顺序
外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-855952.html
for (string str : strs) { // 遍历物品
int oneNum = 0, zeroNum = 0;
for (char c : str) {
if (c == '0') zeroNum++;
else oneNum++;
}
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}
- 举例推导dp数组
class Solution {
public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
//dp[i][j]表示i个0和j个1时的最大子集
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
int oneNum, zeroNum;
for (String str : strs) {
oneNum = 0;
zeroNum = 0;
for (char ch : str.toCharArray()) {
if (ch == '0') {
zeroNum++;
} else {
oneNum++;
}
}
//倒序遍历
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
}
到了这里，关于Day43｜动态规划part05： 1049. 最后一块石头的重量 II、494. 目标和、474. 一和零的文章就介绍完了。如果您还想了解更多内容，请在右上角搜索TOY模板网以前的文章或继续浏览下面的相关文章，希望大家以后多多支持TOY模板网！
