仿射变换中的旋转缩放变换矩阵推导-Toy模板网

这篇具有很好参考价值的文章主要介绍了仿射变换中的旋转缩放变换矩阵推导。希望对大家有所帮助。如果存在错误或未考虑完全的地方，请大家不吝赐教，您也可以点击"举报违法"按钮提交疑问。

仿射变换可以将矩阵形状转换为平行四边形。可以挤压形状，但是必须保持两边平行。常见的是旋转、缩放、平移变换。缩放和平移比较简单，本文重点推导旋转缩放变换矩阵。

任意一点 $x_0,y_0)$
可以看成 $x_0, 0)$ 向量和 $0,y_0)$ 向量相加，对 $x_0,y_0)$
绕原点逆时针旋转 $\theta$ ，相当于 $x_0,0),(0,y_0)$
绕原点逆时针旋转 $\theta$ 后的向量相加。

在图像处理中图片的坐标通常使用的是左手坐标系，如图
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x 轴为图片宽度方向，y轴为高度方向。

因此 $x_0, y_0)$ 点逆时针旋转 $\theta$ 后的坐标为
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1\\ \end{pmatrix} = (x_0 \cos \theta + y_0 \sin \theta, -x_0\sin \theta + y_0 \cos \theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0\\ \end{pmatrix} \end{aligned}$
旋转矩阵为
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} . \end{aligned}$

上面是绕原点旋转，如果是绕任意一点旋转呢？ 假设旋转中心center为
$c_x, c_y)$ 。我们把坐标原点移动到 $c_x, c_y)$ ，旧坐标系任意点(x,
y)在新坐标系下则为 $x-c_x, y-c_y)$ 。
因此在新坐标系下绕原点逆时针旋转 $\theta$ ，即
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x^*\\ y^*\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-c_x \\ y-c_y \\ \end{pmatrix} \end{aligned}$
新坐标系下旋转后的点 $x^*, y^*)$ 在旧坐标系下则为 $x^* + c_x, y^* + c_y)$
。因此旧坐标系下绕 $c_x, c_y)$ 逆时针旋转 $\theta$ 后的点为
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ \end{pmatrix} =& \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-c_x \\ y-c_y \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c_x\\ c_y\\ \end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} \cos\theta x + \sin\theta y - c_x\cos\theta - c_y\sin\theta + c_x \\ -\sin\theta x + \cos\theta y + c_x\sin\theta - c_y\cos\theta + c_y \\ \end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & (1 - \cos\theta)c_x - c_y\sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta & c_x\sin\theta + (1-\cos\theta)c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} \end{aligned}$

现在再考虑缩放，分2种情况:

(1) 旋转后以原点为中心缩放 scale, 记 $\cos \theta = \alpha$ ,
$\sin \theta = \beta$ ，则
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ \end{pmatrix} =& \begin{pmatrix} scale & 0\\ 0 & scale \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & (1 - \cos\theta)c_x - c_y\sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta & c_x\sin\theta + (1-\cos\theta)c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} \alpha & \beta & (scale - \alpha)c_x - \beta c_y \\ -\beta & \alpha & \beta c_x + (scale-\alpha)c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} \end{aligned}$

(2) 旋转后以 $c_x, c_y)$ 为中心点缩放，分2步：
第1步，先按上面(1)变换，此时 $c_x, c_y)$ 点变为了 $scale * c_x, scale * c_y)$
；第2步 x分量平移 $c_x - scale * c_x$ ，y
分量平移 $c_y - scale * c_y$ 。因此

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ \end{pmatrix} =& \begin{pmatrix} \alpha & \beta & (scale - \alpha)c_x - \beta c_y \\ -\beta & \alpha & \beta c_x + (scale-\alpha)c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & c_x - scale * c_x \\ 0 & 0 & c_y - scale * c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} \alpha & \beta & (1 - \alpha)c_x - \beta c_y \\ -\beta & \alpha & \beta c_x + (1-\alpha)c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} \end{aligned}$