事件独立性
描述性定义
设 A , B A,B A,B为两个事件，如果其中任何一个事件发生的概率不受另一个事件发生与否的影响，则称事件 A A A与 B B B相互独立。
数学定义
数学定义其实可以由条件概率推导得到，当事件
A
A
A与
B
B
B独立时，
B
B
B在
A
A
A的条件下发生的概率应该等于
P
(
B
)
P(B)
P(B)，反之亦然，则可以得到下面的等式：
P
(
B
∣
A
)
=
P
(
A
B
)
P
(
A
)
=
P
(
B
)
P(B|A)=\frac {P(AB)} {P(A)}=P(B)
P(B∣A)=P(A)P(AB)=P(B)
可以得到：
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P(AB)=P(A)P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
上式就是事件独立性的数学定义，即只要满足两个事件的积事件概率等于两个事件概率的乘积，则两个事件独立。该条件是充要的。
注：
-
两事件相互独立和两事件互不相容二者不可能同时发生。
P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P ( A ) > 0 , P ( B ) > 0 , P ( A B ) > 0 P(AB)=P(A)P(B)\\ P(A)>0,P(B)>0,P(AB)>0 P(AB)=P(A)P(B)P(A)>0,P(B)>0,P(AB)>0
但对于互不相容的两个事件，二者不可能同时发生：
P ( A B ) = P ( ∅ ) = 0 P(AB)=P(\emptyset)=0 P(AB)=P(∅)=0 -
必然事件及不可能事件与任意事件相互独立。（易证）
相关定理
-
设 A , B A,B A,B是两事件，且 P ( A ) > 0 P(A)>0 P(A)>0，若 A , B A,B A,B相互独立，则 P ( B ∣ A ) = P ( B ) P(B|A)=P(B) P(B∣A)=P(B)，反之亦然。
-
若事件 A A A与 B B B相互独立，则 A , B A,B A,B中任一事件换成逆事件后仍独立。
P ( A B ˉ ) = P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A ) P ( B ) = P ( A ) [ 1 − P ( B ) ] = P ( A ) P ( B ˉ ) \begin{align} P(A\bar B) &=P(A-B)\\ &=P(A)-P(A)P(B)\\ &=P(A)[1-P(B)]\\ &=P(A)P(\bar B) \end{align} P(ABˉ)=P(A−B)=P(A)−P(A)P(B)=P(A)[1−P(B)]=P(A)P(Bˉ)
其他同理可证。
多事件独立性
注意区分两两独立和相互独立的区别，相互独立可推出两两独立，反之不成立。相互独立的条件更强。
例子：
设有4张卡片，分别标有数字1,2,3,4，现任取一张，设事件 A A A：取到1或2，事件 B B B：取到1或3，事件 C C C：取到1或4
其实经过简单运算就可以得到 A , B , C A,B,C A,B,C两两独立，但不相互独立。
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-858171.html
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