java数据结构与算法刷题-----LeetCode1091. 二进制矩阵中的最短路径-Toy模板网

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广度优先+双分裂蛇

双分裂蛇：是求二维表中从起点到终点的经典思路（也是求无权图的最短路径问题的经典解法）。创建两条分裂蛇，分别从起点和终点出发，两者相遇，则找到一条路径。时间复杂度理论上和单分裂蛇一样，但实际效率双分裂蛇更高。

分裂蛇的意思是：如果遇到分叉路，分裂蛇A可以分裂成对应数量的蛇，然后分头行动。

为什么双分裂蛇更快？因为只有一条蛇时，最坏情况下所有结点都走一遍才能找到最短路径

而双分裂蛇，无论分裂多少，肯定是最短路径上的两条蛇最先相遇。所以两条蛇初次相遇的路径，就是最短路径。而不用像单分裂蛇那样，很有可能将所有路走一遍再比较才能知道哪条路最短。

简单来说，单分裂蛇，它需要走的步数更多，因为它要自己从起点走到终点，因此分裂的蛇也就越多，访问的结点也就越多。
而双分裂蛇，两条蛇走的步数都是单分裂蛇的一半。所以两条蛇分裂的蛇会很少。访问的结点就少

举个例子，一张可以无限对折的0.0002米厚的纸，对折40次左右可以到月球，40次正好就是219902公里。而对折40次的一半左右，比如23次只有1.677公里。此时我搞两张纸各对折40次的一半，加起来是1.677+1.677 = 3.3公里左右

可见，219902公里是一张纸对折40次的结果。3.3公里左右是两张纸对折40次一半20次左右的结果. 而回到分裂蛇的例子。一条蛇分裂40次，和两条蛇各分裂20次。谁访问的结点更少呢？

因此理论上，最坏情况下双分裂蛇和单分裂蛇都是n^2的时间复杂度，也就是每个结点访问两次，但是实际上，找最短路径，就和一张纸对折40次和两张纸对折20次的区别是一样的，只要路径足够长，双分裂蛇访问的结点个数，和单分裂蛇访问的结点个数根本不是一个量级,就像一张纸对折40次上月球，两张纸对折20次加起来走不出一个小区是一个道理。双分裂蛇的效率是比单分裂蛇高的。

但是无论单分裂蛇还是双分裂蛇，找最短路径，都满足：初次相遇的蛇所在路径为最短路径。

也就是，就算是单分裂蛇，也不需要所有路径走一遍统计路径长度，才能找出最短的
因为最短路径上的蛇一定会先最先到达。（前提是所有蛇的速度一样，都是大家一起一步一步走）文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-858402.html

解题思路：时间复杂度O( $n^2$ )，空间复杂度O( $n^2$ )

创建两个队列A和B，当做分裂蛇，分别从起点[0][0]和终点[n-1][n-1]出发，将两个结点分别入各自的队列

A队列先走一步，情况允许就分裂。新分裂出的蛇不额外走

一步的含义是，我可以向8个方向走，只要能走就走。

分裂：如果多个方向都满足条件，则进行分裂，让分裂的蛇到达指定地点（一步）,然后将分裂的蛇全部入队列

但是新入队列的蛇，不可以继续处理，因为它们已经走了一步了

如果两个队列没有相遇，B队列也走一步，情况允许就分裂，新分裂的不走

直到两个队列中有蛇相遇，就结束程序。因为双分裂蛇的特点就是，最先相遇的两条蛇所在路径为最短路径

代码：会给出双分裂蛇和单分裂蛇的两版代码，除了蛇的数量不一样，剩余代码全部一样，可以很明显的看见，双分裂蛇的效率高多了，比单分裂蛇效率高了40%

双分裂蛇版本用时6ms

class Solution {
    final static int[] dx = {1, 1, 1, 0, 0, -1, -1, -1};//右下，下，左下，右，左，右上，上，左上
    final static int[] dy = {1, 0, -1, 1, -1, 1, 0, -1};//右下，下，左下，右，左，右上，上，左上
    final static int SIGN_A = 2;//A队列走过的路的标识
    final static int SIGN_B = 3;//B队列走过的路的标识
    class Node {//队列中的结点，保存x和y坐标
        int x, y;
        public Node(int x, int y) {
            this.x = x;
            this.y = y;
        }
    }

    public int shortestPathBinaryMatrix(int[][] grid) {
        int n = grid.length;
        if(grid[0][0] == 1 || grid[n-1][n-1] == 1) return -1;
        else if(grid[0][0] == 0 && n == 1) return 1;

        int steps = 2;//走了多少步，两个队列(贪吃蛇)一起算
        //头尾队列，一个从头走，一个从尾巴走，两个队列相遇，就是一个答案
        Queue<Node> headQue = new LinkedList<Node>();
        Queue<Node> tailQue = new LinkedList<Node>();
        headQue.offer(new Node(0, 0));
        tailQue.offer(new Node(n-1, n-1));

        grid[0][0] = SIGN_A;
        grid[n-1][n-1] = SIGN_B;
        //两个队列一起走
        while(!headQue.isEmpty() && !tailQue.isEmpty()) {
            boolean encounter = nextStep(grid, headQue, SIGN_A);//A队列走一步，是否相遇B队列
            if(encounter) return steps;//如果相遇，则返回步数
            //没有相遇，则A队列步数+1
            steps++;
            //B队列走一步，是否相遇A队列
            encounter = nextStep(grid, tailQue, SIGN_B);
            if(encounter) return steps;
            steps++;
        }
        return -1;//如果一直没有相遇就返回-1
    }
    //走一步
    private boolean nextStep(int [][]grid, Queue<Node> que, int sign) {
        int n = grid.length;
        int size = que.size();
        while((size--) > 0) {//如果当前队列有结点（无论多少个），那么这些结点只走一步，不多走，也就是这些结点走了一步后，过程中新添加的结点，本次不考虑
            Node cur = que.poll();//出队列当前结点
            int x = cur.x, y = cur.y;//获取其坐标
            for(int i = 0; i < 8; ++i) {//8个方向按右下，下，左下，右，左，右上，上，左上的顺序走一下
                int nx = x + dx[i];
                int ny = y + dy[i];
                //如果下标越界，或者要走的这一方向==1（此路不通），或者要走的这一方向当前队列已经走过了grid[nx][ny] == sign，就跳过
                if(nx < 0 || nx >= n || ny < 0 || ny >= n || grid[nx][ny] == 1 || grid[nx][ny] == sign) continue;
                // 如果要走的方向遇到了另一个队列，则说明相遇
                if(grid[nx][ny] != 0) return true;//返回true
                //如果没有相遇，向当前方向走一步
                grid[nx][ny] = sign;
                que.add(new Node(nx, ny));//添加到队列继续
            }
        }
        return false;
    }
}

单分裂蛇版本，用时10ms

class Solution {
    public int shortestPathBinaryMatrix(int[][] grid) {
        if(grid[0][0] != 0)return -1;
        if(grid.length == 1){
            if(grid[0][0] == 0) return 1;
            else return -1;
        }
        int[] dx = {-1, -1, -1, 0,  0, 1, 1, 1};
        int[] dy = {-1, 0, 1, -1, 1, -1, 0,1};
        int n = grid.length;
        // 记录坐标
        Queue<int[]> queue = new LinkedList();//单分裂蛇
        queue.offer(new int[]{0,0});//从起点开始
        grid[0][0] = 1;//走过的就标志为1
        int length = 0;//路径长度
        loop:while(queue.size() > 0){//如果还有分裂蛇存在
            int size = queue.size();//获取当前分裂蛇，这些分裂蛇可以进行分裂，然后走一步
            ++length;//走一步+1个路径长度
            while((size--) > 0){//只有当前分裂蛇可以走一步，多条路可走就分裂，新的分裂蛇不可以走，如果使用queue.size()会将新的分裂蛇也处理了
                int[] pos = queue.poll();//依次获取这些现在存在的分裂蛇
                for(int i =0; i < 8; i++){//从8个方向走
                    int x = pos[0] + dx[i];
                    int y = pos[1] + dy[i];
                    //如果这个方向可以走，并且没有分裂蛇走过
                    if(x >=0 && y >= 0 && x < grid.length && y < grid.length && grid[x][y] == 0){
                        queue.offer(new int[]{x,y});//就分裂一条蛇过去，这条分裂后新进入队列的蛇，本次不可以再处理
                        grid[x][y] = length +1;//将此结点标志为已到达过，赋值为：路径长度+1
                        //这里很重要，终点一定是最短路径的蛇先到，此时它会将这个结点标志为已到访过
                        //后面在较长路径的蛇，不会覆盖这个值
                        //如果当前分裂蛇是第一个到终点的，则他就是最短路径上的蛇
                        if(x == grid.length-1 && y == grid.length-1) break loop;//跳出整个循环，不继续处理任何蛇
                    }
                }
            }
        }
        return grid[n-1][n-1] <2 ? -1 : grid[n-1][n-1];//返回到终点的最短路径长度
    }
}