行列式
一、行列式的性质
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性质1 行列互换，其值不变，即 |A|=|A^{T}|
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性质2 若行列式中某行(列)元素全为 0， 则行列式为 0
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性质3 若行列式中某行(列)元素有公因子 k(k\neq0) ，则 k 可提到行列式外面（倍乘性质）
$$
\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\ka_{i1}&ka_{i2}&\cdots&ka_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{nn}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}
$$ -
性质4 行列式中某行(列)元素均是两个元素之和，则可以拆成两个行列式之和，即
$$
\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}+b_{i1}&a_{i2}+b_{i2}&\cdots&a_{in}+b_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix} +\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\b_{i1}&+b_{i2}&\cdots&b_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}
$$注：等式从右到左是两个行列式相加的运算，如果两个行列式的其他元素对应相等，只有一个行(列)不同时，可以相加，相加时其他元素不变，不同元素的行(列)对应相加即可
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性质5 行列式中两行(列)互换，行列式的值反号
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性质6 行列式中两行(列)元素相等或对应成比例，则行列式为 0
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性质7 行列式中某行(列)的 k 倍加到另一行(列)， 行列式的值不变
二、行列式的逆序数法定义（第二种定义）
1.排列和逆序
排列 由n个数1,2,...,n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列，如 23145 是一个 5 级排列，41352 也是一个 5 级排列. n级排列共有n!个. 逆序 在一个n 级排列i_1i_2\cdots i_s\cdots i_t\cdots i_n中，若i_s>i_t,且i_s,排在i_t前面，则称这两个数构成一个逆序. 逆序数 一个排列中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记作 \tau(i_1i_2\cdots i_n),如 \tau(231546)=3,\tau(621534)=8. 由小到大顺排的排列称为自然排序，如 12345,显然，自然排序的逆序数为 0.
奇排列和偶排列 排列的逆序数为奇数时，该排列称为奇排列；排列的逆序数为偶数时，该排列称为偶排列.
2. n 阶行列式的定义
n(n\geq2) 阶行列式
$$
\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix} =\sum_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}
$$
这里 \sum_{j_1j_2\cdots j_n} 表示对所有n 个列下标排列求和，故为n! 项之和.注意到行下标已经顺排，而列下标是任一 个 n 级排列，故每项由取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积组成，每项的正、负号取决于(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}.当列下标为奇排列时，应附加负号；当列下标为偶排列时，应附加正好。
【注】
规定1阶行列式 |a_{11}=a_{11}|
如：请确定“a_{12}a_{31}a_{54}a_{43}a_{25}”这一展开项前的正、负号.答：首先将行下标顺排为a_{12}a_{25}a_{31}a_{43}a_{54},然后计算 \tau(25134)=4,为偶排列，故该项前为正号.文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-858631.html
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