0205矩阵分块法-矩阵及其运算-线性代数-Toy模板网

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1 分块矩阵的定义

将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子快，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

2 分块矩阵的运算（性质）

设矩阵A与B的行数相同，列数相同，采用相同的分块法，有
$A=\begin{pmatrix} A_{11}&\cdots&A_{1r}\\ \vdots&&\vdots\\ A_{s1}&\cdots&A_{sr} \end{pmatrix} ,B=\begin{pmatrix} B_{11}&\cdots&B_{1r}\\ \vdots&&\vdots\\ B_{s1}&\cdots&B_{sr} \end{pmatrix}\\$
其中 $A_{ij}与B_{ij}$ 行数相同，列数相同，那么
$A+B=\begin{pmatrix} A_{11}+B_{11}&\cdots&A_{1r}+B_{1r}\\ \vdots&&\vdots\\ A_{s1}+B_{s1}&\cdots&A_{sr}+B_{sr} \end{pmatrix}$
设
$A=\begin{pmatrix} A_{11}&\cdots&A_{1r}\\ \vdots&&\vdots\\ A_{s1}&\cdots&A_{sr} \end{pmatrix} ,\lambda为数，那么$

$\lambda A=\begin{pmatrix} \lambda A_{11}&\cdots&\lambda A_{1r}\\ \vdots&&\vdots\\ \lambda A_{s1}&\cdots&\lambda A_{sr} \end{pmatrix}$
设A位 $m\times l$ 矩阵，B位 $l\times n$ 矩阵，分块成
$A=\begin{pmatrix} A_{11}&\cdots&A_{1t}\\ \vdots&&\vdots\\ A_{s1}&\cdots&A_{st} \end{pmatrix} ,B=\begin{pmatrix} A_{11}&\cdots&A_{1r}\\ \vdots&&\vdots\\ A_{t1}&\cdots&A_{tr} \end{pmatrix}$
其中 $A_{i1},A_{i2},\cdots,A_{it}$ 的列数分别等于 $B_{1j},B_{2j},\cdots,B_{tj}$ 的行数，那么
$AB=\begin{pmatrix} C_{11}&\cdots&C_{1r}\\ \vdots&&\vdots\\ C_{s1}&\cdots&C_{sr} \end{pmatrix}$
其中
$C_{ij}=\sum_{k=1}^tA_{ik}B_{kj}(i=1,\cdots,s;j=1,\cdots,r)$
设
$A=\begin{pmatrix} A_{11}&\cdots&A_{1r}\\ \vdots&&\vdots\\ A_{s1}&\cdots&A_{sr} \end{pmatrix} ，则A^T=\begin{pmatrix} A_{11}^T&\cdots&A_{s1}^T\\ \vdots&&\vdots\\ A_{1r}^T&\cdots&A_{sr}^T \end{pmatrix}$
设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即
$A=\begin{pmatrix} A_{1}&&&O\\ &A_2&&\\ &&\ddots&\\ O&&&A_s \end{pmatrix}$
其中 $A_i(i=1,2,\cdots,s)$ 都方阵，那么称A为分块对角矩阵。

分块对角矩阵的行列式有以下性质
$|A|=|A_1||A_2|\cdots |A_s|$
由此性质可知，若 $|A_i|\not=0（i=i,2,\cdots,s)$ ，则 $|A|\not=0$ ，并有
$A^{-1}=\begin{pmatrix} A_{1}^{-1}&&&O\\ &A_2^{-1}&&\\ &&\ddots&\\ O&&&A_s^{-1} \end{pmatrix}$
例18 设
$A=\begin{pmatrix} 5&0&0\\ 0&3&1\\ 0&2&1 \end{pmatrix} ，求A^{-1}$

$KaTeX parse error: Undefined control sequence: \vline at position 24: …gin{pmatrix} 5&\̲v̲l̲i̲n̲e̲0&0\\ \hdashlin…$

3 按列分块与按行分块

$m\times n$ 矩阵A有n列，称为矩阵A的n个列向量，若第j列记作
$a_j=\begin{pmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{pmatrix}$
则A可按列分块位
$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$
$m\times n$ 矩阵A有m行，称为矩阵A的m个行向量，若第 $i$ 行记作
$\alpha_i^T=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})$
则A可按行分开为
$A=\begin{pmatrix} \alpha_1^T\\ \alpha_2^T\\ \vdots\\ \alpha_m^T \end{pmatrix}$
对于矩阵 $A=(a_{ij})_{m\times s}$ 与矩阵 $B=(b_{ij})_{s\times n}$ 的乘积矩阵 $AB=C=(c_{ij})_{m\times n}$ ，若把A按行分成m快，把B案列分成n快，便有
$AB=\begin{pmatrix} \alpha_1^T\\ \alpha_2^T\\ \vdots\\ \alpha_m^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1,b_2,\cdots,b_n\\ \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} \alpha_1^Tb_1&\alpha_1^Tb_2&\cdots&\alpha_1^Tb_n\\ \alpha_2^Tb_1&\alpha_2^Tb_2&\cdots&\alpha_2^Tb_n\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \alpha_m^Tb_1&\alpha_m^Tb_2&\cdots&\alpha_m^Tb_n\\ \end{pmatrix}$
其中
$c_{ij}=\alpha_i^Tb_j=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{is}) \begin{pmatrix} b_{1j}\\ b_{2j}\\ \vdots\\ b_{sj} \end{pmatrix} =\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}$

例19 证明矩阵 $A = O$ 的充分必要条件是方阵 $A^TA=O$
$证明：条件的必要性是显然的\\ 充分性\\ 设A=(a_{ij})_{m\times n}，把A按列分块位A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)，则\\ A^TA=\begin{pmatrix} a_1^T\\ a_2^T\\ \vdots\\ a_n^T \end{pmatrix} (a_1,a_2,\cdots,a_n)\\ =\begin{pmatrix} a_1^Ta_1&a_1^Ta_2&\cdots&a_1^Ta_n\\ a_2^Ta_1&a_2^Ta_2&\cdots&a_2^Ta_n\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_n^Ta_1&a_n^Ta_2&\cdots&a_n^Ta_n\\ \end{pmatrix}\\ 即A^TA的(i,j)元为a_i^Ta_j 因A^TA=O，故\\ a_i^Ta_j=0(i,j=1,2,\cdots,n) 特殊的，有\\ a_j^Ta_j=0(j=1,2,\cdots,n)\\ 而 a_j^Ta_j=(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{mj}) \begin{pmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{pmatrix} =a_{1j}^2+a_{2j}^2+\cdots+a_{mj}^2=0,得\\ a_{1j}=a_{2j}=\cdots=a_{mj}=0\\ 即 A=O$
线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m,\\ \end{cases}$
它的矩阵乘积形式为
$A_{m\times n}x_{n\times 1}=b_{m\times 1}$
上式中，把A案列分块，把x按行分块，有分块矩阵的乘法有
$(a_1,a_2,\cdots,a_n) \begin{pmatrix} x_1,\\ x_2,\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} =b,即\\ x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n=b$
其实方程组表成
$\begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{m1} \end{pmatrix}x_1 +\begin{pmatrix} a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots\\ a_{m2} \end{pmatrix}x_2 +\cdots \begin{pmatrix} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots\\ a_{mn} \end{pmatrix}x_n =\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}$