第四章 线性方程组
4.1 线性方程组
● 由二元一次方程的消元法，交换两个方程，用非零数乘以某个方程，某方程乘以k倍加到另一方程。这个与矩阵的初等行变换相似。
● 将上面方程组的未知数去掉，将系数写在一个矩阵中。就可以表示该方程组。并可以通过矩阵的初等行变换求解。
4.2 线性方程组有解的判定
● 系数矩阵，将方程组所以方程等号左边的系数写成一个矩阵。
● 增广系数矩阵(记作
A
ˉ
\bar A
Aˉ)，在系数矩阵的右侧加方程组等号右侧的数字（只有一列）。
● 向量表达式，每个未知数与该未知数的系数组成的向量的乘积之和等于方程组等号右侧数字组成的矩阵。
● 判断方程组的系数矩阵和增广型系数矩阵的秩的关系便可以判断方程组有解与否。
● 判断方程组系数矩阵和增广型系数矩阵的秩是否相等的步骤
1.写出增广型系数矩阵
2.只做初等行变换，将矩阵转换成阶梯型
3.阶梯型中虚线左右非零行行数是否等于
4.不管全为0的行，左边首非零元留在左边，其他变量挪到右边。得到一般解
5.如果是无穷型，那么为零的未知数就是自由未知量。
● 在矩阵中出现参数的时候，一定注意参数不能放在分母。
4.3 齐次线性方程组
● 齐次方程组指的是方程组的等号右边都是0.
● 齐次线性方程组一定有解，至少有0解。
●
r
(
A
)
=
r
(
A
ˉ
)
r(A)=r(\bar A)
r(A)=r(Aˉ) 有唯一的零解
⇔
\Leftrightarrow
⇔ r(A)=n
有非零解
⇔
r
(
A
)
<
n
\Leftrightarrow r(A)<n
⇔r(A)<n
方程个数小于未知数个数，有非零解。
r
(
A
)
<
m
i
n
(
m
,
n
)
<
n
r(A)<min{(m,n)}<n
r(A)<min(m,n)<n
方程个数等于未知数个数，有非零解
⇔
∣
A
∣
=
0
⇔
r
(
A
)
<
n
⇔
A
不可逆
\Leftrightarrow \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow r(A)<n\Leftrightarrow A不可逆
⇔
A
=0⇔r(A)<n⇔A不可逆
4.4.1 齐次方程组解的结构
● 对于 齐次方程组
1.
η
1
和
η
2
是
A
x
=
0
的解，那么
η
1
+
η
2
也是它的解
A
(
η
1
+
η
2
)
=
A
η
1
+
A
η
2
=
0
+
0
=
0
\eta_1和\eta_2是Ax=0的解，那么\eta_1+\eta_2也是它的解\\A(\eta_1+\eta_2)=A\eta_1+A\eta_2=0+0=0
η1和η2是Ax=0的解，那么η1+η2也是它的解A(η1+η2)=Aη1+Aη2=0+0=0
2.
η
是
A
x
=
0
的解，
c
η
也是解，那么
A
(
c
η
)
=
c
A
η
=
c
⋅
0
=
0
\eta是Ax=0的解，c\eta也是解，那么A(c\eta)=cA\eta=c\cdot0=0
η是Ax=0的解，cη也是解，那么A(cη)=cAη=c⋅0=0
● 基础解系：1.
η
1
⋯
η
s
线性无关
\eta_1\cdots\eta_s线性无关
η1⋯ηs线性无关 2.任意一个解都可以由
η
1
⋯
η
s
\eta_1\cdots\eta_s
η1⋯ηs来表示
● 基础解系就是极大线性无关组。
● 将矩阵进行初等行变换，然后化简成行简化阶梯型。
自由未知量取最大线性无关组
● 基础解系中解的个数是
n
−
r
(
A
)
n-r(A)
n−r(A)个。
● 结论：
A
m
×
n
、
B
n
×
s
A
B
=
0
n
×
s
那么：
r
(
A
)
+
r
(
B
)
≤
n
A_{m\times n}、B_{n\times s} \ \ AB=0_{n\times s}\ \ 那么： r(A)+r(B)\leq n
Am×n、Bn×s AB=0n×s 那么：r(A)+r(B)≤n证明过程，将矩阵B分为s个向量，这个地方之所以要分块是因为要凑出矩阵乘以向量等于零（齐次线性方程组）；然后如第二、三行所示，
A
B
i
=
0
AB_i=0
ABi=0 这个就是齐次线性方程组。 之后分类讨论。
4.4.2 非齐次方程组解的结构
● 矩阵乘以向量等于一个 常数 ，就是非齐次方程组 。即Ax=b 令b=0,那么Ax=0就是导出组。
α
1
、
α
2
是
A
x
=
b
的解
,
α
1
−
α
2
是
A
x
=
0
的解。
A
(
α
1
−
α
2
)
=
A
α
1
−
A
α
2
=
b
−
b
=
0
\alpha_1、\alpha_2是Ax=b的解,\alpha_1-\alpha_2是Ax=0的解。A(\alpha_1-\alpha_2)=A\alpha_1-A\alpha_2=b-b=0
α1、α2是Ax=b的解,α1−α2是Ax=0的解。A(α1−α2)=Aα1−Aα2=b−b=0
α
0
是
A
x
=
b
的解，
η
是
A
x
=
0
的解，
α
0
+
η
是
A
x
=
b
的解
,
A
(
α
0
+
η
)
=
A
α
0
+
A
η
=
b
+
0
=
b
\alpha_0是Ax=b的解，\eta是Ax=0的解 ，\alpha_0+\eta是Ax=b的解,A(\alpha_0+\eta)=A\alpha_0+A\eta=b+0=b
α0是Ax=b的解，η是Ax=0的解，α0+η是Ax=b的解,A(α0+η)=Aα0+Aη=b+0=b
● 定理：
α
0
是
A
x
=
b
的一个解
,
η
是
A
x
=
0
的通解
η
=
C
1
η
1
+
C
2
η
2
+
c
d
o
t
s
+
C
n
−
r
η
n
−
r
,
η
n
−
r
是
A
x
=
0
的基础解系
α
0
+
C
1
η
1
+
C
2
η
2
+
c
d
o
t
s
+
C
n
−
r
η
n
−
r
就是
A
x
=
b
的全解
(
通解
)
\alpha_0是Ax=b的一个解,\eta是Ax=0的通解\ \eta=C_1\eta_1+C_2\eta_2+cdots+C{n-r}\eta{n-r},\eta_{n-r}是Ax=0的基础解系\ \alpha_0+C_1\eta_1+C_2\eta_2+cdots+C{n-r}\eta{n-r}就是Ax=b的全解(通解)
α0是Ax=b的一个解,η是Ax=0的通解 η=C1η1+C2η2+cdots+Cn−rηn−r,ηn−r是Ax=0的基础解系 α0+C1η1+C2η2+cdots+Cn−rηn−r就是Ax=b的全解(通解)
● 例题：
文章来源：https://www.toymoban.com/news/detail-859180.html
所以通解为：
(
13
7
−
4
7
0
0
)
+
C
1
(
−
3
7
−
2
7
0
0
)
+
C
2
(
−
13
7
−
4
7
0
0
)
\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\\-\frac{4}{7}\\0\\0\end{matrix}\right)+C_1\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\\-\frac{2}{7}\\0\\0\end{matrix}\right)+C_2\left(\begin{matrix}-\frac{13}{7}\\-\frac{4}{7}\\0\\0\end{matrix}\right)
713−7400
+C1
−73−7200
+C2
−713−7400
● 步骤：
1.写出增广型系数矩阵，只做初等行变换，化为行简化阶梯型
2.非零行的首非零元的1留在左边，其余的移到右边，写出非齐次方程组的通解方程组，指出谁是自由未知量(不在左边是自由未知量)
3.令自由未知量均取0，得到Ax=b的一个特解。
4.令通解方程组右边常数项均为0，得到Ax=0的通解方程组。指出谁是自由未知量，令自由未知量取最大线性无关组，得到Ax=0的基础解系
5.按
α
0
+
C
1
η
1
+
C
2
η
2
+
⋯
+
C
n
−
r
η
n
−
r
\alpha_0+C_1\eta_1+C_2\eta_2+\cdots+C_{n-r}\eta_{n-r}
α0+C1η1+C2η2+⋯+Cn−rηn−r 得出非齐次方程组的通解
● 例题：
四元非齐次方程组的系数矩阵的秩为3，
α
1
、
α
2
、
α
3
是方程组的三个解
其中
α
1
=
(
2
,
3
,
4
,
5
)
T
,
α
2
+
α
3
=
(
1
,
2
,
3
,
4
)
T
\alpha_1、\alpha_2、\alpha_3是方程组的三个解\\其中\alpha_1=(2,3,4,5)^T,\alpha_2+\alpha_3=(1,2,3,4)^T
α1、α2、α3是方程组的三个解其中α1=(2,3,4,5)T,α2+α3=(1,2,3,4)T
求：通解
解：通解=Ax=b的一个特解+导出组基础解系的线性组合
其中
α
1
,
α
2
,
α
3
都是特解，但是只有
α
1
给出，所以把
α
1
做特解
\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3都是特解，但是只有\alpha_1给出，所以把\alpha_1做特解
α1,α2,α3都是特解，但是只有α1给出，所以把α1做特解
导出组的基础解系的解的个数=n-r 在本题中=4-3=1。
由
α
1
、
α
2
是
A
x
=
b
的解
,
α
1
−
α
2
是
A
x
=
0
的解。
A
(
α
1
−
α
2
)
=
A
α
1
−
A
α
2
=
b
−
b
=
0
\alpha_1、\alpha_2是Ax=b的解,\alpha_1-\alpha_2是Ax=0的解。A(\alpha_1-\alpha_2)=A\alpha_1-A\alpha_2=b-b=0
α1、α2是Ax=b的解,α1−α2是Ax=0的解。A(α1−α2)=Aα1−Aα2=b−b=0
所以
2
α
1
−
α
2
−
α
3
就是导出组的基础解系
2\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3就是导出组的基础解系
2α1−α2−α3就是导出组的基础解系文章来源地址https://www.toymoban.com/news/detail-859180.html
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