通信原理(2)--随机过程

通信原理(2)–随机过程

3.1随机过程的基本概念

随机过程{x(t)}由一族时间函数$x_i(t)$，i=1,2.3…组成，每一个时间函数$x_i(t)$称为随机过程{x(t)}的一个样本函数（一个实现）
每个样本函数在时间上，在幅度取值上都是连续变化的波形。
若固定时刻，随机过程在该时刻所有样本函数的取值则为一随机变量。
为了描述随机过程在不同时刻的相互关系，用n维联合分布函数（概率密度函数族）来描述n个不同时刻对应的n个随机变量。

随机过程其实是随机变量在连续时间上的一次升维

3.1.1随机过程的分布函数

一维分布函数
$$F_1(x_1,t_1)=P[\xi (t_1)\le x_1]$$

$$\{\begin{array}{l}0\le F_1(x_1,t_1)\le 1\\ F_1(-\infty ,t_1)=0,F_1(+\infty ,t_1)=1\\ x_2>x_1,F_1(x_2,t_1)>F_1(x_1,t_1)\end{array}$$

一维概率密度函数
$$f_1(x_1,t_1)=\frac{\partial F_1(x_1,t_1)}{\partial x_1}$$

$$\{\begin{array}{l}{f}_1(x_1,t_1)\ge 0\\ F_1(x_1,t_1)={\int }_{-\infty }^{x_1}{f}_1(x_1^{\prime },t_1)\mathrm{d}{x}_1^{\prime }\\ P[a_1\le \xi (t_1)\le a_1]={\int }_{a_1}^{a_2}{f}_1(x_1,t_1)\mathrm{d}{x}_1\\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(x_1,t_1)\mathrm{d}{x}_1=1\end{array}$$

n维分布函数与n维概率密度函数

n维分布函数
$$F_n(x_1,x_2,\cdots ,x_n;t_1,t_2,\cdots ,t_n)=P[\xi (t_1)\le x_1,\xi (t_2)\le x_2,\cdots ,\xi (t_n)\le x_n]$$
n维概率密度函数
$$f_n(x_1,x_2,\cdots ,x_n;t_1,t_2,\cdots ,t_n)=\frac{\partial F_n(x_1,x_2,\cdots ,x_n;t_1,t_2,\cdots ,t_n)}{\partial x_1\partial x_2\cdots \partial x_n}$$

数学期望

$$a(t)=E[\xi (t)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }x{f}_1(x,t)\mathrm{d}x$$

道机过程的数学期望与t有关，表示n个样本函数曲线的摆动中心。

E[C]=C常数的数学期望是常数本身：
$E\left[a{X}_1+b{X}_2\right]=aE\left[X_1\right]+bE\left[X_2\right]$
对于两个统计独立的随机变量$X_1,X_2\text{,有}E[X_1{X}_2]=E[X_1]E[X_2]$

方差

$$D[\xi (t)]=E\left\{\right[\xi (t)-a(t){]}^2\}=E[{\xi }^2(t)]-a^2(t)$$

随机过程的方差表示了随机过程$\xi (t)$在t时刻偏离数学期望的程度。

$D[C]=0$ 常数的方差是0；

$D[CX]=C^{2}D[X],D[X+C]=D[X]$
对于两个随机变量$X_1,X_2$, 有
$$D\left[a{X}_1+b{X}_2\right]=a^{2}D\left[X_1\right]+b^{2}D\left[X_2\right]+2ab\cdot \mathrm{Cov}\left[X_1,X_2\right]$$
对于两个不相关的随机变量$X_1,X_2$, 有

$$D[a{X}_1+b{X}_2]=a^{2}D\left[X_1\right]+b^{2}D\left[X_2\right]$$

3.1.2随机过程的统计特性

数学期望和方差只能反映随机变量$\xi (t)$在孤立时刻的数字特征，不
能反映不同时刻的内在联系。

• 自相关函数

$$R(t_1,t_2)=E[\xi (t_1)\xi (t_2)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}_1{x}_2{f}_2(x_1,x_2;t_1,t_2)\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2$$

反映不同时刻随机过程取值的相关性。

• 自协方差函数

B ( t 1 , t 2 ) = E { [ ξ ( t 1 ) − a ( t 1 ) ] [ ξ ( t 2 ) − a ( t 2 ) ] } B(t_1,t_2)=E\left\{\left[\xi(t_1)-a(t_1)\right]\left[\xi(t_2)-a(t_2)\right]\right\} B(t1​,t2​)=E{[ξ(t1​)−a(t1​)][ξ(t2​)−a(t2​)]}

$$={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }[x_1-a(t_1)][x_2-a(t_2)]f_2(x_1,x_2;t_1,t_2)\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2$$

自协方差函数反映不同时刻随机过程的统计相关性。

• 自相关函数与自协方差函数的关系

$$B(t_1,t_2)=R(t_1,t_2)-a(t_1)a(t_2)$$

对于零均值随机过程：$B(t_1,t_2)=R(t_1,t_2)$
假定$t_2>t_1$,令$t_2=t_1+\tau$,则$R(t_1,t_2)=R(t_1,t_1+\tau );$

我们一般研究时间间隔 $\tau$ 对相关性的影响；

一般情况下，$\tau$越大，相关性越小

对于两个随机过程 $\xi (t)$和$\eta (t)$, 定义：

互相关函数
$$R_{\xi \eta }(t_1,t_2)=E\left[\xi (t_1)\eta (t_2)\right]$$

互协方差函数
B ξ η ( t 1 , t 2 ) = E { [ ξ ( t 1 ) − a ξ ( t 1 ) ] [ η ( t 2 ) − a η ( t 2 ) ] } B_{\xi\eta}(t_1,t_2)=E\left\{\left[\xi(t_1)-a_\xi(t_1)\right]\left[\eta(t_2)-a_\eta(t_2)\right]\right\} Bξη​(t1​,t2​)=E{[ξ(t1​)−aξ​(t1​)][η(t2​)−aη​(t2​)]}

3.2平稳随机过程

3.2.1定义

平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而变化，其一维分布与时间 $t$ 无关，二维分布只与时间间隔 $\tau$ 有关。即：

一维分布与时间t无关
$$f_1(x,t)=f_1(x,t+h)=f_1(x)\forall h$$

二维分布只与时间间隔$\tau$有关
$$f_2(x_1,x_2;t_1,t_2)=f_2(x_1,x_2;t_1+h,t_2+h)$$

$$=f_2(x_1,x_2;t_2-t_1)=f_2(x_1,x_2;\tau )\forall h$$

3.2.2 平稳随机过程的数字特征

均值：$E\left[\xi (t)\right]={\int }_{-\infty }^{+\infty }x{f}_1(x)$d$x=\alpha$ 与$t$无关，样本函数围绕一水平线起伏

方差：$D\left[\xi (t)\right]={\int }_{-\alpha }^{+\infty }(x-a{)}^2{f}_1(x)$d$x=E\left[{\xi }^2(t)\right]-a^2={\sigma }^2$ 与==$t$无关==，为常数

自相关函数：

$R(t,t+\tau )=E[\xi (t)\xi (t+\tau )]$

$={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}_1{x}_2{f}_2(x_1,x_2;\tau )$d$x_1$d$x_2=R(\tau )$
自相关只与时间间隔$\tau$有关，而与时间起点无关。

3.2.3 狭义（严）平稳和广义（宽）平稳

• 狭义平稳随机过程（严平稳）

随机过程的各维概率密度函数都不随时间的推移而变化。

$$f_n(x_1,x_2,\cdots ,x_n;t_1,t_2,\cdots ,t_n)=f_n(x_1,x_2,\cdots ,x_n;t_1+h,t_2+h,\cdots ,t_n+h),\forall n,h$$
狭义平稳过程又称严平稳过程，条件很强，对其作放宽，可得广义平稳、即宽平稳过程的概念。

• 广义平稳随机过程（宽平稳）

一个二阶矩随机过程，均值为常数，自相关函数仅仅是时间间隔的函数，称这样的过程为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。

后文的平稳随机过程均为宽平稳（除特指）

3.2.3各态历经性

• 平稳随机过程的各态经历性
  假定 $x(t)$为随机过程 $\xi (t)$ 的任意一个实现，其时间均值和时间相关函数分别为：

$$\overline{a}=\overline{x(t)}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}x(t)\mathrm{d}t\overline{R(\tau )}=\overline{x(t)x(t+\tau )}=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}x(t)x(t+\tau )\mathrm{d}t$$
若平稳随机过程依概率1满足$\bar{a}=a$, $\overline{R(\tau )}=R(\tau )$
则称该平稳过程具有各态历经性。

• 含义

随机过程中任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。

化“统计平均”为“时间平均”, 用任意一个样本函数刻画整个随机过程的所有特征，简化实际的测量和计算。

3.2.4平稳过程的自相关函数

3.2.4.1平稳随机过程自相关函数的性质

$R(0)=E\left[{\xi }^2(t)\right]=S$ 物理意义：随机过程的平均功率；

$R(\infty )=E^2\left[\xi (t)\right]=a^2$ 物理意义：随机过程的直流功率；

时间间隔无限大时，$\xi (t)$ 与 $\xi (t+\tau )$趋于独立

由于平稳，$E[\xi (t+\tau )]=E[\xi (t)]$

$R(\infty )={\lim }_{\tau \to \alpha }E\left[\xi (t)\xi (t+\tau )\right]={\lim }_{\tau \to \infty }E\left[\xi (t)\right]E\left[\xi (t+\tau )\right]=E\left[\xi (t)\right]E\left[\xi (t)\right]=E^2\left[\xi (t)\right]$

$R(0)-R(\infty )=E[{\xi }^2(t)]-{\alpha }^2={\sigma }^2$ 物理意义：随机过程的交流功率；对应方差公式 $D[\xi (t)]=E[{\xi }^2(t)]-E^2[\xi (t)]$

$R(\tau )=R(-\tau )$ 自相关函数为偶函数；

∣ R ( τ ) ∣ ≤ R ( 0 ) \begin{vmatrix}R(\tau)\end{vmatrix}\leq R(0)\quad ​R(τ)​ ​≤R(0)给出了自相关函数的上界，与自身时刻相关性最大。

3.2.5平稳过程的功率谱密度

• 定义

假定 $f(t)$为随机过程$\xi (t)$的任一实现，对其进行 $T$ 长度的截断，记

为$f_r(t)$,其傅里叶变换为$F_T(\omega )$,则任一实现的功率谱为：

$$P_f(\omega )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{{\left|F_T(\omega )\right|}^2}{T}$$

故$\xi (t)$ 的功率谱密度为：

• 维纳-辛钦定理

平稳随机过程 $\xi (t)$的功率谱密度函数$P_{\xi }(\omega )$和自相关函数$R(\tau )$为一对傅里叶变换对

$$\{\begin{array}{l}{P}_{\xi }(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }R(\tau )e^{-j\omega \tau }\mathrm{d}\tau \\ R(\tau )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{P}_{\xi }(\omega )e^{j\omega \tau }\mathrm{d}\omega \end{array}\text{或}\{\begin{array}{l}{P}_{\xi }(f)={\int }_{-\infty }^{+\infty }R(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\mathrm{d}\tau \\ R(\tau )={\int }_{-\infty }^{+\infty }{P}_{\xi }(f)e^{j2\pi f\tau }\mathrm{d}f\end{array}R(\tau )\iff P_{\xi }(f)$$

• 功率谱密度的性质

功率谱密度具有非负性：$P_{\xi }(f)\ge 0$

功率谱密度是偶函数$:P_{\xi }(-f)=P_{\xi }(f)$ ·

单边、双边功率谱密度互换：$P_{\xi \text{单边}}(f)=\{\begin{array}{llc}2P_{\xi \text{双边}}(f)& f\ge 0& \\ 0& f<0& \end{array}$

平均功率的计算方法
$$S=R(0)=E[{\xi }^2(t)]S={\int }_{-\infty }^{+\infty }{P}_{\xi }(f)\mathrm{d}f=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{P}_{\xi }(\omega )\mathrm{d}\omega$$

3.3高斯随机过程

3.3.1定义

若随机过程的任意n维分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维概率密度函数为==（了解）==：
$$\begin{array}{rl}& f_n(x_1,x_2,\cdots ,x_n;t_1,t_2,\cdots ,t_n)\\ & =\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^{n/2}{\sigma }_1{\sigma }_2\cdots {\sigma }_n{\left|B\right|}^{1/2}}\exp \left[-\frac{1}{2\left|B\right|}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n\left|B_{jk}\right|\left(\frac{x_j-a_j}{{\sigma }_j}\right)\left(\frac{x_k-a_k}{{\sigma }_k}\right)\right]\end{array}$$

3.3.2重要性质

• 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量$x_1,x_2,\cdots ,x_n$的数学期望，方差以及两两变量之间的归一化协方差函数决定；
• 广义平稳的高斯过程也狭义平稳；
• 高斯过程在不同时刻取值不相关，则它们也统计独立：

$$f_n(x_1,x_2,\cdots ,x_n;t_1,t_2,\cdots ,t_n)=f(x_1,t_1)f(x_2,t_2)\cdots f(x_n,t_n)$$

对于高斯变量来说，不相关和独立是等价的；

• 高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍为高斯过程，但数字特征发生改变：
• 若干个高斯过程的代数和仍为高斯过程，但数字特征发生改变。

$$X_1\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),X_2\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)\boxed{⟶}a{X}_1+b{X}_2\sim N(a{\mu }_1+b{\mu }_2,a^2{\sigma }_1^2+b^2{\sigma }_2^2)$$

3.3.3一维高斯过程

3.3.3.1概率密度函数与数字特征

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp [-\frac{(x-a{)}^2}{2{\sigma }^2}],-\infty <x<+\infty \boxed{⟹}X\sim N(a,{\sigma }^2)$$

3.3.3.2概率密度曲线及其性质

• 对称轴：均值 $x=a$

• ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=1{\int }_{-\infty }^{a}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}$

• 均值$\alpha$反映变量的分布中心， 方差${\sigma }^2$反映变量的集中程度；

• 当均值$\alpha =0$,方差${\sigma }^2=1$时，高斯分布为标准正态分布N(0,1)

3.3.3.3 高斯变量的标准化/归一化

$$\begin{gathered} X\sim N(a,{\sigma }^2)\stackrel{Y=\frac{X-a}{\sigma }}{⟶}Y\sim N(0,1) \\ P(X\le x)=P(Y\le \frac{x-a}{\sigma }) \end{gathered}$$

给定任意高斯变量，都可以经过归一化变为标准正态分布Y。

3.3.4 正态分布函数、Q函数、误差函数、互补误差函数

3.3.4.1 正态分布

• 正态分布函数

$X\sim N(a,{\sigma }^2)$ F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ − ∞ x 1 2 π σ exp ⁡ ∣ − ( t − a ) 2 2 σ 2 ∣ F( x) = P( X\leq x) = \int _{- \infty}^x\frac 1{\sqrt {2\pi}\sigma}\exp \left | - \frac {\left ( t- a\right ) ^2}{2\sigma^2}\right | F(x)=P(X≤x)=∫−∞x​2π ​σ1​exp ​−2σ2(t−a)2​ ​d$t$

• 标准正态分布函数

$$F(x)={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$$

积分式无闭合形式，只有数值解，需要经过处理以后通过查表求解概率。

3.3.4.2 Q函数

$X\sim N(0,1)$

$$Q(x)={\int }_x^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$$
$$X\sim N(a,{\sigma }^2)\stackrel{\begin{array}{c}Y=\frac{X-a}{\sigma }\end{array}}{}Y\sim N(0,1)$$

$$P(X\le x)=P(Y\le \frac{x-a}{\sigma })\boxed{Q(x)=1-F\left(\frac{x-a}{\sigma }\right)}$$

给定任意高斯变量$X$,经过归一化变为标准正态分布$Y$后，可以利用Q函数查表求有关的概率。
$$Q(0)=0.5,Q(x)=1-Q(-x)$$

3.4平稳随机过程通过线性系统

随机机过程通过线性系统

只考虑平稳随机过程通过线性时不变系统的情形。

对确知信号（视为随机过程的样本函数）：

$$\begin{array}{rl}& v_o(t)=v_i(t)\ast h(t)={\int }_0^{+\infty }h(\tau )v_i(t-\tau )\mathrm{d}\tau \\ & V_o(\omega )V_i(\omega )H(\omega )V_o(\omega )=V_i(\omega )\cdot H(\omega )\end{array}$$
对整个随机过程：${\xi }_o(t)={\xi }_i(t)\ast h(t)={\int }_0^{+\infty }h(\tau ){\xi }_i(t-\tau )\mathrm{d}\tau$

3.4.1 随机过程通过线性系统

• 数学期望

$$E\left[{\xi }_i(t)\right]=a⟶E\left[{\xi }_o(t)\right]=a\cdot H(0)$$

输出过程的数学期望为常数，即输入直流分量a与系统直流增益H(0)的乘积。
$$R_i(t,t+\tau )=R_i(\tau )⟶R_o(t,t+\tau )=R_o(\tau )$$
输入平稳随机过程，则输出过程自相关函数只与时间间隔有关。

平稳随机过程通过线性系统，输出也是平稳随机过程。

• 证明

$$E[{\xi }_o(t)]=a\cdot H(0)$$

$$\begin{array}{rl}E[{\xi }_o(t)]& =E[{\int }_0^{+\infty }h(\tau ){\xi }_i(t-\tau )\mathrm{d}\tau ]={\int }_0^{+\infty }h(\tau )E[{\xi }_i(t-\tau )]\mathrm{d}\tau \\ & =E\left[{\xi }_i(t)\right]\cdot {\int }_0^{+\infty }h(\tau )\mathrm{d}\tau \\ & =a\cdot {\int }_0^{+\infty }h(\tau )\mathrm{d}\tau ⟶E\left[{\xi }_o(t)\right]=a\cdot H(0)\end{array}$$

H ( f ) = ∫ 0 + ∞ h ( τ ) e − j 2 π f τ d τ H ( 0 ) = ∫ 0 + ∞ h ( τ ) e − j 2 π f τ ⏟ 1 d τ ∣ f = 0 = ∫ 0 + ∞ h ( τ ) d τ \begin{aligned}&H(f)=\int_{0}^{+\infty}h(\tau)e^{-j2\pi f\tau}\mathrm{d}\tau\\&H(0)=\int_{0}^{+\infty}h(\tau)\underbrace{e^{-j2\pi f\tau}}_{1}\mathrm{d}\tau\Bigg|_{f=0}=\int_{0}^{+\infty}h(\tau)\mathrm{d}\tau\end{aligned} ​H(f)=∫0+∞​h(τ)e−j2πfτdτH(0)=∫0+∞​h(τ)1 e−j2πfτ​​dτ ​f=0​=∫0+∞​h(τ)dτ​

• 证明

$$R_o(t,t+\tau )=R_o(\tau )$$

$$\begin{array}{rl}{R}_o(t,t+\tau )& =E[{\xi }_o(t){\xi }_o(t+\tau )]\\ & =E\left[{\int }_0^{+\infty }h(\alpha ){\xi }_i(t-\alpha )\mathrm{d}\alpha {\int }_0^{+\infty }h(\beta ){\xi }_i(t+\tau -\beta )\mathrm{d}\beta \right]\\ & ={\int }_0^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }h(\alpha )h(\beta )E[{\xi }_i(t-\alpha ){\xi }_i(t+\tau -\beta )]\mathrm{d}\alpha \mathrm{d}\beta \end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& E[{\xi }_i(t-\alpha ){\xi }_i(t+\tau -\beta )]=R_i(\tau +\alpha -\beta )\\ & R_o(t,t+\tau )={\int }_0^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }h(\alpha )h(\beta )R_i(\tau +\alpha -\beta )\mathrm{d}\alpha \mathrm{d}\beta =R_o(\tau )\end{array}$$

因此输出过程自相关函数只依赖时间间隔，而与时间起点无关。

• 功率谱密度

$$P_i(\omega )⟹P_0(\omega )=P_i(\omega ){\left|H(\omega )\right|}^2$$

输出过程的功率谱为输入功率谱$P_i(\omega )$与系统功率增益${\left|H(\omega )\right|}^2$的乘积。

研究一般随机过程经过线性系统的输出较复杂，但特殊地，线性系统输入高斯过程，则输出也为高斯过程，但数字特征会发生改变。

• 随机过程通过线性系统

$$P_0(\omega )=P_i(\omega ){\left|H(\omega )\right|}^2$$

$$R_o(t,t+\tau )={\int }_0^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }h(\alpha )h(\beta )R_i(\tau +\alpha -\beta )\mathrm{d}\alpha \mathrm{d}\beta$$

P o ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ R o ( τ ) e − j ω τ d τ = ∫ − ∞ + ∞ ∫ 0 + ∞ ∫ 0 + ∞ [ h ( α ) h ( β ) R i ( τ + α − β ‾ ) d α d β ] e − j ω τ d τ τ ′ = τ + α − β τ = τ ′ − α + β , d τ = d τ ′ = ∫ 0 + ∞ h ( α ) e j ω α ‾ d α ⋅ ∫ 0 + ∞ h ( β ) e − j ω β d β ⋅ ∫ − ∞ + ∞ R i ( τ ′ ) e − j ω τ ′ d τ ′ = H ∗ ( ω ) ⋅ H ( ω ) ⋅ P i ( ω ) = P i ( ω ) ∣ H ( ω ) ∣ 2 \begin{aligned} P_{o}(\omega)& =\int_{-\infty}^{+\infty}R_{o}(\tau)e^{-j\omega\tau}\mathrm{d}\tau \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\left[h(\alpha)h(\beta)R_{i}(\underline{\tau+\alpha-\beta})\mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\beta\right]e^{-j\omega\tau}\mathrm{d}\tau \\ &\tau^{\prime}=\tau+\alpha-\beta\quad\tau=\tau^{\prime}-\alpha+\beta,\mathrm{d}\tau=\mathrm{d}\tau^{\prime} \\ &=\int_{0}^{+\infty}h(\alpha)e^{\underline{j\omega\alpha}}\mathrm{d}\alpha\cdot\int_{0}^{+\infty}h(\beta)e^{-j\omega\beta}\mathrm{d}\beta\cdot\int_{-\infty}^{+\infty}R_{i}(\tau^{\prime})e^{-j\omega\tau^{\prime}}\mathrm{d}\tau^{\prime} \\ &=H^{*}(\omega)\cdot H(\omega)\cdot P_{i}(\omega)=P_{i}(\omega)\big|H(\omega)\big|^{2} \end{aligned} Po​(ω)​=∫−∞+∞​Ro​(τ)e−jωτdτ=∫−∞+∞​∫0+∞​∫0+∞​[h(α)h(β)Ri​(τ+α−β​)dαdβ]e−jωτdττ′=τ+α−βτ=τ′−α+β,dτ=dτ′=∫0+∞​h(α)ejωα​dα⋅∫0+∞​h(β)e−jωβdβ⋅∫−∞+∞​Ri​(τ′)e−jωτ′dτ′=H∗(ω)⋅H(ω)⋅Pi​(ω)=Pi​(ω) ​H(ω) ​2​

3.5窄带随机过程

$$P_{\xi }(f)=\{\begin{array}{ll}{P}_{\xi }(f)& \left|f\right|\le f_0\\ & \\ 0& \left|f\right|>f_0\end{array}{P}_{\xi }(f)=\{\begin{array}{ll}{P}_{\xi }(f)& f_c-f_0\le \left|f\right|\le f_c+f_0\\ & \\ 0& \text{其他}\end{array}$$

3.5.1 窄带随机过程的定义

通带宽度： $\Delta f\ll f_c$, 且中心频率 $f_c$ 远离零频率的系统。

窄带过程：随机过程通过以 $f_c$为中心频率的窄带系统的输出过程。

• 窄带过程时、频示意图

窄带随机过程的数学表示
$$\xi (t)=\underline{a_{\xi }(t)}\cos \left[{\omega }_{c}t+\underline{{\phi }_{\xi }(t)}\right]$$
$a_{\xi }(t)$:随机包络

${\phi }_{\xi }(t)$:随机相位

• 同相分量-正交分量表达式

$$\begin{array}{rl}\xi (t)& =a_{\xi }(t)\cos [{\omega }_{c}t+{\phi }_{\xi }(t)]\\ & =\underline{a_{\xi }(t)\cos {\phi }_{\xi }(t)}\cos {\omega }_{c}t-\underline{a_{\xi }(t)\sin {\phi }_{\xi }(t)}\sin {\omega }_{c}t\\ & =\underline{{\xi }_c(t)}\cos {\omega }_{c}t-\underline{{\xi }_s(t)}\sin {\omega }_{c}t\end{array}$$

同相分量：${\xi }_c(t)=a_{\xi }(t)\cos {\phi }_{\xi }(t)$

正交分量：${\xi }_s(t)=a_{\xi }(t)\sin {\phi }_{\xi }(t)$
$$\{\begin{array}{l}{a}_{\xi }(t)=\sqrt{{\xi }_c^2(t)+{\xi }_s^2(t)}\\ {\phi }_{\xi }(t)=\arctan \frac{{\xi }_s(t)}{{\xi }_c(t)}\end{array}$$

3.5.2 ${\xi }_c(t)\text{和}{\xi }_s(t)$的统计特性

$\xi (t)$ 为平稳高斯窄带过程，均值为0，方差为${\sigma }_{\xi }^2$。

$$\xi (t)={\xi }_c(t)\cos {\omega }_{c}t-{\xi }_s(t)\sin {\omega }_{c}t$$

${\xi }_c(t)$和 ${\xi }_s(t)$ 的数学期望均为0；

$E[{\xi }_c(t)]=E[{\xi }_s(t)]=0$ ${\xi }_c(t)$ 和 ${\xi }_s(t)$的相关函数均只与时间间隔有关，故必然平稳；

${\xi }_c(t)$和 ${\xi }_s(t)$的自相关函数相同；

${\xi }_c(t)$ 和 ${\xi }_s(t)$ 的方差相同；${\sigma }_{\xi }^2={\sigma }_c^2={\sigma }_s^2$

${\xi }_c(t)$ 和 ${\xi }_s(t)$为互不相关、统计独立的高斯变量。

${\xi }_c(t)\text{和 }{\xi }_s(t)\text{为零均值,等方差,不相关,独立的平稳高斯过程。}$

3.5.3 $a_{\xi }(t)\text{ 和 }{\phi }_{\xi }(t)\text{的统计特性}$的统计特性

• 瑞利分布

$$f(a_{\xi })=\frac{a_{\xi }}{{\sigma }_{\xi }^2}\exp (-\frac{a_{\xi }^2}{2{\sigma }_{\xi }^2}),a_{\xi }\ge 0$$

• 均匀分布

$$f({\phi }_{\xi })=\frac{1}{2\pi },0\le {\phi }_{\xi }\le 2\pi$$

• 随机相位和随机包络统计独立

$$f(a_{\xi },{\phi }_{\xi })=f(a_{\xi })\cdot f({\phi }_{\xi })$$

3.6正弦波加窄带高斯噪声

3.6.1 数学模型

• 信号模型

$$r(t)=A\cos ({\omega }_{c}t+\underline{\theta })+\underline{n(t)}$$

$\theta$:随机相位

$n(t)$:均值为0，方差为c的窄带高斯噪声

• 同相分量-正交分量表达式

$$\begin{array}{rl}& \\ & n(t)=n_c(t)\cos {\omega }_{c}t-n_s(t)\sin {\omega }_{c}t\\ & r(t)=A\cos ({\omega }_{c}t+\theta )+n_c(t)\cos {\omega }_{c}t-n_s(t)\sin {\omega }_{c}t\\ & =\underline{\left[\begin{array}{c}A\cos \theta +n_c(t)\end{array}\right]}\cos {\omega }_{c}t-\underline{\left[\begin{array}{c}A\sin \theta +n_s(t)\end{array}\right]}\sin {\omega }_{c}t\\ & =\underline{z_c(t)}\cos {\omega }_{c}t-\underline{z_s(t)}\sin {\omega }_{c}t\end{array}$$

同相分量:$z_c(t)=A\cos \theta +n_c(t)$

正交分量:$z_s(t)=A\sin \theta +n_s(t)$

• 幅度-相位表达式

$$r(t)=z_c(t)\cos {\omega }_{c}t-z_s(t)\sin {\omega }_{c}t=\underline{z(t)}\cos [{\omega }_{c}t+\underline{\phi (t)}]$$

$\text{随机包络}z(t)=\sqrt{z_c^2(t)+z_s^2(t)}$

$\text{随机相位}\phi (t)=\arctan \frac{z_s(t)}{z_c(t)}$

• 同相分量-正交分量与幅度-相位的关系

3.6.2 同相分量和正交分量和统计特性

$z_c(t)=A\cos \theta +\boxed{n_c(t)}$

$z_s(t)=A\sin \theta +\boxed{n_s(t)}$

高斯窄带过程的同相分量与正交分量零均值，方差相同的高斯变量

随机相位 $\theta$给定时，$z_c( t) $ 和 $z_s( t) $为取值不相关，相互独立，且 同分布的高斯变量，其数字特征为：
$$\{\begin{array}{l}E[z_c(t)]=A\cos \theta \\ E[z_s(t)]=A\sin \theta \\ {\sigma }_n^2={\sigma }_c^2={\sigma }_s^2\end{array}$$

3.6.3 随机包络和随机相位的统计特性

$\text{随机包络}z(t)\text{的统计特性}$

莱斯分布/广义瑞利分布
$$f(z)=\frac{z}{{\sigma }_n^2}\exp (-\frac{z^2+A^2}{2{\sigma }_n^2})I_0\left(\frac{Az}{{\sigma }_n^2}\right),z\ge 0$$

$$I_0(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\exp [x\cos \phi ]\mathrm{d}\phi \text{第一类零阶修正贝塞尔函数}$$
大信噪比环境：$r=\frac{A^2}{2{\sigma }^2}\gg 1$ 近似为高斯分布

小信噪比环境：$A\to 0$ 退化为瑞利分布

随机相位 $\phi (t)$的概率密度 $f(\phi )$与信噪比环境有关。

• 小信噪比环境：$f(\phi )$ 服从均匀分布
• 大信噪比环境：集中在有用信号相位附近，在0相位附近取值集中。

$$f(a_{\xi })=\frac{a_{\xi }}{{\sigma }_{\xi }^2}\exp (-\frac{a_{\xi }^2}{2{\sigma }_{\xi }^2}),a_{\xi }\ge 0$$
退化后
$$\begin{gathered} f(z)=\frac{z}{{\sigma }_n^2}\exp (-\frac{z^2+A^2}{2{\sigma }_n^2})I_0\left(\frac{Az}{{\sigma }_n^2}\right),z\ge 0 \\ f({\phi }_{\xi })=\frac{1}{2\pi },0\le {\phi }_{\xi }\le 2\pi \end{gathered}$$
窄带过程”和“正弦波+高斯窄带过程”两类模型的有关结论常用于分析系统抗噪声性能。
结合误差函数、互补误差函数的定义可以求解系统的总误码率。

3.7高斯白噪声和带限白噪声

3.7.1 高斯白噪声

• 白噪声

功率谱密度均匀分布在整个频率范围内的随机过程称为白噪声。

• 功率谱密度

$$P_n(\omega )=\frac{n_0}{2},-\infty <\omega <+\infty P_n(\omega )=n_0,\omega \ge 0$$

$n_0:$ 单边噪声功率谱密度

$\frac{n_0}{2}:$ 双边噪声功率谱密度 2

• 自相关函数

$$P_n(\omega )=\frac{n_0}{2},-\infty <\omega <+\infty ⟺R(\tau )=\frac{n_0}{2}\delta (\tau )$$

白噪声在任意两个不同时刻上取值互不相关，只有在间隔 $\tau =0$ 时才相关。

• 高斯白噪声

服从高斯分布的白噪声称为高斯白噪声。

• 性质

高斯白噪声的特点是：在任意两个不同时刻上随机变量互不相关且统计独立

• 实际应用

实际中不存在理想白噪声，因为其功率为无穷大，若噪声功率谱均匀分布的频率范围远大于通信系统的工作频带，则视为白噪声。

3.7.2 低通白噪声

• 功率谱密度和自相关函数

$$P_n(\omega )=\{\begin{array}{ll}\frac{n_0}{2}& \left|\omega \right|\le {\omega }_H\\ & \\ 0& \left|\omega \right|>{\omega }_H\end{array}⟶R(\tau )=n_0{f}_H\frac{\sin {\omega }_H\tau }{{\omega }_H\tau }$$